3.2. Принцип стационарной фазы

При рассмотрении некоторых вопросов, связанных с анализом временных и частотных функций, часто оказывается целесообразным использовать комплексное представление сигнала. Если действительный сигнал задается равенством

то эквивалентное комплексное представление имеет вид

Преобразование Фурье этой комплексной временнбй функции запишется следующим образом:

где Функции связаны теоремой Парсеваля, так что

где энергия действительного сигнала, задаваемого соотношением Наличие мнимого экспоненциального члена в (3.4) указывает на то, что подынтегральное выражение в этом равенстве представляет осциллирующую функцию, изменяющуюся со скоростью

Отсюда видно, что спектр Фурье, задаваемый уравнением (3.4), будет в основном определяться тем интервалом, на котором скорость изменений колебаний минимальна. Это обстоятельство позволяет рассматривать его в стационарной фазовой точке, которая определяется уравнением

Данное выражение является параметрическим, так как оно связывает две независимые переменные со и Таким образом некоторое конкретное значение которое удовлетворяет условию (3.7), может

быть определено лишь после того, как сделано предположение о значении со. Если только не является постоянной, то момент времени когда фаза стационарна, будет различным для каждой из частот Две составляющие экспоненты в равенстве (3.4) могут быть представлены, как показано на рис. 3.1, в виде двух независимо вращающихся векторов. Отсюда следует, что максимальное влияние этих двух векторов на интегральное уравнение для будет иметь место в том случае, когда векторы вращаются с одной и той же скоростью.

Рис. 3.1. Векторное представление мнимых компонент спектра, определяемого интегралом в соотношении (3.4).

Рис. 3.2. Критерий стационарной фазы для частоты

Для некоторой фиксированной частоты указанной на рис. 3.1, это влияние будет преобладающим в момент для которого разность фаз постоянна. Так как есть вектор, вращающийся с постоянной угловой скоростью, в общем случае с переменной скоростью, то существует некоторый момент времени для которого скорость изменения разности фаз равна нулю. Это идентично условию, задаваемому равенством (3.7).

На рис. 3.2 показана зависимость фазы от времени, соответствующей каждому из этих двух векторов. Стационарная точка расположена при когда касательная к функции параллельна прямой линии Так как крутизна этой прямой линии равна (частотному параметру), то можно еще раз убедиться, что момент времени при котором имеет место стационарная точка, связан с со.

Обращаясь снова к рис. 3.2, заметим, что разность может быть разложена в ряд Тейлора относительно При этом получаем

Если в уравнении (3.8) временная разность сохраняется малой, то это равенство может быть достаточно точно представлено своими первыми тремя членами. Таким образом, для малых интервалов около точки

Так как по условию то уравнение (3.9) около точки сводится к

Подставляя это последнее соотношение в Фурье-преобразование и рассматривая как медленно меняющуюся величину по сравнению со скоростью изменения фазы в точке видим, что спектр частот может быть записан в виде

Именно этот последний результат и окажется полезным при выводе приближенной связи между заданной функцией кодированного сигнала и соответствующим согласованным фильтром.