5.6. Ошибки несмещенной совместной оценки параметров радиолокационного сигнала

С точки зрения несмещенной совместной эффективной оценки мы видим, что среднеквадратичная ошибка при совместной оценке двух статистических параметров где представляет временную задержку а допнлеровский сдвиг задается выражением [5], составляет

где коэффициент корреляции, отражакший статистическую связь оценок и Коэффициент корреляции определяется

в виде

В следующих разделах настоящей главы будет показано, что метод максимального правдоподобия обеспечивает несмещенную асимптотически эффективную оценку радиолокационных параметров когда отношение сигнал/шум становится очень большим

Функция правдоподобия

Рассмотрим конкретный пример. Пусть точечная цель перемещается по радиальному направлению относительно радиолокатора. В этом случае на входе радиолокационного приемника помимо шума будет находиться и сигнал, отраженный от цели. Как правило, описание сигнала наряду с параметрами включает и «паразитные» параметры. В данной задаче такие параметры, содержащие амплитуду и фазу сигнала, мы не будем учитывать. Это эквивалентно предположению, что они известны и не влияют на оценку других параметров. Следовательно, общая форма сигнала на входе приемника может быть записана в виде

где сигнал на входе приемника, из которого должна быть извлечена информация, гауссов белый, ограниченный по полосе шум, характеристики которого определены в разд. 5.5, и отраженный радиолокационный сигнал. Для определенности запишем в виде

где заменены на

Предполагаем, что функции являются действительными. Для удобства, однако, этот пример будет рассмотрен с использованием соответствующих комплексных представлений, предложенных Габором [11]. Таким образом, выполним следующие подстановки:

и в таком случае функция правдоподобия, выраженная через комплексных выборочных значений радиолокационного входного сигнала, определится соотношением

где Произведя логарифмирование и взяв частную производную по получаем

где означает действительную часть, звездочка — комплексное сопряжение. Теперь необходимо оценить величину (5.21) при истинном значении параметра Так как коэффициент может быть заменен на то выражение (5.21) переходит в

где вертикальная черта с приписанным индексом означает, что производная равенства (5.21) вычисляется при истинном значении параметра. Так как

то непосредственные вычисления дают

Полученное выражение (5.23) представляет собой фундаментальный результат; впервые он, по-видимому, был получен Слепяном [12]. Интегральная форма равенства (5.23) может бьггь найдена с помощью теоремы о выборках Шеннона. Итак, если есть функция с ограниченной полосой, так что

где есть преобразование Фурье то по теореме о выборках получаем

где производные вычисляются при истинном значении параметра.

Минимальная дисперсия ошибки измерения временной задержки

Выражение (5.25) может быть использовано для определения минимальной дисперсии ошибки измерения временнбй задержки. Оно может также применяться для нахождения минимальной дисперсии ошибки измерения допплеровского сдвига (это будет сделано в следующем разделе). Читатель должен иметь в виду, что при использовании одного лишь равенства (5.25), когда не учитывается множитель который появляется в неравенстве Крамера-Рао, предполагается, что или что этот параметр не будет измеряться, так как он известен. Последнее из этих двух предположений представляется менее правдоподобным, чем первое; оно означает, что мы имеем полную априорную информацию относительно этого конкретного параметра. Условия, при которых будут обсуждены в гл. 9.

Для того чтобы определить минимальную дисперсию ошибки измерения задержки, необходимо в первую очередь отметить, что задержанный по времени сигнал имеет вид Таким образом, используя правило дифференцирования сложных функций, находим, что

Подставляя этот результат в (5.25), получаем

Применяя теорему Парсеваля, преобразуем интеграл в правой части (5.27) к виду

где определяется равенством (5.24). Производя замену переменных по формуле центральная частота приводим (5.28) к виду

Первое слагаемое в правой части этого равенства ранее использовалось для определения эффективной полосы радиолокационных сигналов [4]. Таким образом (5.28) принимает окончательный вид:

откуда следует

Для того чтобы получить оценку на основе (5.31), необходимо иметь априорную информацию о фазе несущей частоты отраженного радиолокационного сигнала, аналогично тому, как предполагалось в первых параграфах этого раздела. Так как такая информация, как правило, недоступна, то дисперсия ошибки будет значительно превышать величину, которую дает (5.31), если только оценка не усредняется по случайной фазе несущей частоты. Это эквивалентно выделению огибающей, которое производится после обработки сигнала. В этом случае дисперсия ошибки определяется формулой

Минимальная дисперсия ошибки измерения допплеровской частоты

Для того чтобы определить минимальную дисперсию ошибки Измерения допплеровской частоты, представим сигнал в виде

где называется «предогибаклцей» сигнала [13]. Отсюда получаем

Подставляя этот результат в (5.25), будем иметь

Выражение в правой части (5.35) ранее использовалось [4] для определения эффективной длительности сигнала а. Напомним, что это выражение имело вид

Таким образом,

Равенство (5.37) аналогично равенству (5.32) для параметра

Связь между ошибками

Ошибки оценок в общем случае не будут независимы, если только какой-либо параметр не известен априори и поэтому не измеряется. Вследствие этого реальные дисперсии ошибок в общем случае превысят те, которые задаются равенствами (5.32) и (5.37), поскольку

Для того чтобы выразить через параметры сигнала, напомним, что

Так как знаменатель (5.38) был уже определен [см. (5.32) и (5.37)], то задача состоит в том, чтобы выразить числитель этого выражения через параметры сигнала. Используя (5.22), можно непосредственно получить

Применяя еще раз теорему о выборках, получаем

Индексы, которые указывают, что производные должны вычисляться при истинных значениях в равенстве (5.40) для удобства опущены, однако следует иметь в виду, что эта операция подразумевается в равенстве (5.40).

Используя две формы представления которые мы ввели ранее, преобразуем (5.40) к окончательному виду

Величина имеет общий вид

Подставляя (5.42) в (5.41), получаем

где штрих обозначает дифференцирование. Этот результат может быть представлен в виде суммы двух слагаемых

Второе слагаемое в правой части (5.44) представляет собой первый момент Выбрав начало отсчета таким образом, чтобы первый момент был равен нулю, приводим выражение (5.44) к виду

Подставляя этот результат в (5.38) и используя (5.32) и (5.37), получаем

Вторая возможная форма записи для (5.46) может быть получена с помощью теоремы Парсеваля и имеет вид

где есть производная преобразования Фурье фазовой функции сигнала

Так как результаты, полученные в данном разделе, имеют большое значение в теории построения сигналов, то мы суммируем их для удобства ссылок при дальнейшем изложении:

1. Несущая частота

2. Ширина полосы

3. Длительность

4. Минимальная дисперсия ошибки измерения дальности

5. Минимальная дисперсия ошибки измерения скорости

6. Коэффициент корреляции ошибок измерения (коэффициент частотно-временной связи)

Эти величины будут в дальнейшем рассмотрены в гл. 9, где они используются при анализе некоторых конкретных сигналов.