4.7. Объем свободной области и средний уровень боковых лепестков

Предположение, сделанное Грином, побудило Прайса и Хофштеттера 112] доказать, что максимально возможный объем свободной области, которая может окружать пик, расположенный при равен четырем. Это означает, что максимальная область в координатах дальность — частота Допплера, которая может быть исследована без неопределенности, равна единице.

Рис. 4.4. Функция неопределенности бесконечной последовательности импульсов в виде рядов «иголок».

Рис. 4.5. Функция неопределенности при повороте рядов «иголок».

Если соответствует объему, охватываемому внутри границ центрально расположенной выпуклой симметричной области объему свободной области внутри этих границ, объему пика при то результат Прайса и Хофштеттера можно представить следующим соотношением:

Равенство в соотношении (4.84) имеет место только в том случае, Когда

Этот результат показан на рис. 4.4 для последовательности импульсов

где определяет отдельные импульсы. Из рис. 4.4 видно, что функция неопределенности для (4.85) состоит из ряда острых пиков («иголок») и имеет ярко выраженную прямоугольную область вокруг центрального пика, площадь которой равна четырем. На рис. 4.5 показан свободный объем в виде эллиптической области,

получающейся при умножении (4.85) на для формирований сигнала, описываемого равенством

Так как функция неопределенности для (4.85) задается соотношением

то, вспоминая свойство IV разд. 4.5, видим, что функция неопределенности для (4.87) записывается в виде

Пусть Это приводит к сдвигу импульсов в (4.87) на величину вдоль линии постоянных определяемой соотношением так что получаем

На рис. 4.5 показано, что объем свободной области для (4.89) ограничен эллипсом, полуоси которого имеют размер вдоль оси времени и вдоль оси частот, а площадь составляет 3,6.

Обобщение теоремы об объеме свободных областей получено путем рассмотрения аналогичных областей, для которых Прайс и Хофштеттер показали, что для этого случая неравенство принимает вид

Это неравенство справедливо только при и

В общем случае можно заметить, что чем больше становится тем больше будет с

Прайс и Хофштеттер показали, что для функции неопределенности, имеющей пик при когда усреднение производится по области, площадь которой значительно превышает четыре, средний уровень боковых лепестков должен превосходить

где объем центрального пика. Этот средний уровень боковых лепестков задается в виде

Для идеальной, так называемой «кнопочной», функции неопределенности, которая состоит из импульса объемом расположенного в начале координат и окруженного плоским пьедесталом высотой найдено, что средний уровень боковых лепестков равен