8.4. Многофазные коды (группа II)

Общее описание многофазных кодов (за исключением упомянутых в сноске) также выводится из соотношения (8.1), если положить и опустить сол. Выражение для задается (8.20), однако не ограничивается лишь значениями или . В общем случае последовательности будут многозначными, тем не менее все же удобно заменить последовательности последовательностями где определяется уравнением (8.21). Однако теперь будут представлять собой комплексные коэффициенты, состоящие из действительной и мнимой частей. Общее представление функции неопределенности для многофазных кодов, получающееся из уравнения (8.3), имеет вид (8.28), за исключением того, что члены в этом выражении являются сопряженными.

Многофазные последовательности Баркера

Последовательности, построенные из алфавита, содержащего два или большее число фаз, и обладающие свойством образуют общий класс последовательностей Баркера, исследованный Голомбоми Шольтцем (191, которые рассматривали построение кодов с длинами от 1 до 19 при различных размерах алфавита.

В этой работе также приведены исчерпывающие таблицы последовательностей, полученных из алфавита с шестью элементами, и соответствующие функции Алфавит из шести элементов оказывается уникальным, так как он образует последовательности Баркера для каждой исследуемой длины вплоть до не существует, по-видимому, теоретических ограничений, которые бы делали невозможным существование более длинных последовательностей.

В общем случае алфавит, используемый для получения «обобщенных последовательностей Баркера», состоит из корней единицы (т. е. ). Например, для такая последовательность имеет вид

где для рассматриваемого случая Для этой последовательности получаем

где обозначение в строчке означает отсутствие выходного сигнала в этой точке.

Квантованные фазовые коды

Хеймиллер [20], Фрэнк и Задов [21] и Фрэнк [22] описали метод, который может быть использован для построения многофазных кодов. В этом методе используется матрица [22], имеющая следующую общую структуру. (Сигналы, которые формируются с помощью этих последовательностей, называются квантованными фазовыми кодами. Сигналы, основанные на приведенной ниже матрице, носят название многофазных кодов Фрэнка)

Эту матрицу с одинаковым успехом можно читать как по строкам, так и по столбцам. Элементы ее представляют собой коэффициенты-сомножители

основного фазового угла где целые и взаимно простые числа. В нашем рассмотрении будем предполагать, что Реальная кодовая последовательность образуется путем размещения строк или столбцов последовательно друг за другом. При этом мы получаем последовательность, содержащую элементов. Предположим, например, тогда с помощью этой матрицы получаем последовательность 1

которая состоит из девяти элементов. Отметим, что элементы этой последовательности представляют собой числа по модулю и что каждая из групп начинается с нулевого элемента. Первая группа из трех элементов в (8.49) указывает на факт отсутствия фазового сдвига; в следующей группе из трех элементов коэффициенты отличаются на единицу и соответствуют 0°, 120° и последняя трехэлементная группа состоит из элементов, отличающихся на две единицы, и соответствует 0°, 240°, 120° по модулю 360°.

Вследствие того, что нарастание фазового сдвига слева направо имеет квадратичный характер, многофазные кодированные сигналы Фрэнка, образованные на основе последовательностей, иногда рассматриваются так же, как квантованные по фазе ЛЧМ сигналы. Структуру этих сигналов можно сравнить со структурой сигналов с линейно-ступенчатой ЧМ, которые являются другой квантованной аппроксимацией аналоговых ЛЧМ сигналов (рассмотрение их приведено в разд. 8.5). Ниже даются другие примеры таких последовательностей:

Последовательности для также являются бинарными последовательностями Баркера.

Как периодические последовательности эти коды обладают функциями с нулевыми боковыми лепестками для Такой оптимальный характер боковых лепестков не сохраняется, если длина этих последовательностей ограничивается одним периодом. Однако получающиеся при этом автокорреляционные характеристики обладают меньшими боковыми лепестками, чем ЛЧМ сигналы. Общее описание сигналов,

построенных на основе усеченных последовательностей, удобно представлять в виде суммы по двум индексам пит:

где индекс изменяется от элемента к элементу вплоть до элементов, а индекс изменяется от группы к группе вплоть до группы. Общая длительность такого сигнала равна а эффективная ширина полосы составляет Произведение длительности на ширину полосы равно таким образом

Спектральное представление такого сигнала, задаваемого соотношением (8.50), определится в нормированных единицах как

где Из (8.51) очевидно, что состоит из весовой функции, имеющей форму и векторной суммы функций вида которые размещены через единичный интервал на нормализованной шкале х или через интервалы на ненормализованной шкале частот. Более того, также очевидно, что преобразование Фурье равно умноженной на весовой функции при целых значениях х, так как в этих точках на оси х все векторные функционалы, кроме одного, исчезают. Вид функции вычисленной для некоторых случаев, включающих и 10, показан на рис. 8.24. Результаты экспериментального измерения спектра и автокорреляционной функции для показаны на рис. 8.25. Из этих иллюстраций видно, что имеет структуру, характеризующуюся наличием пульсаций, которые изменяются в зависимости от произведения длительности на полосу. Было высказано предположение, что поведение функции неопределенности сигналов, образованных на основе кодов Фрэнка, можно исследовать с помощью применения к пульсациям метода парных эхо.

Общее выражение для функции отклика этих кодированных сигналов удобно записывать с помощью переменных где представляет непрерывный сдвиг времени в интервалах является

(кликните для просмотра скана)

дискретным сдвигом времени в интервалах где Результирующая функция отклика имеет вид

где

Рис. 8.25. Экспериментально полученный сигнал на выходе согласованного фильтра и спектр сигнала для многофазного кода Фрэнка длины 36: а — автокорреляционная функции на выходе согласованного фильтра; спектр сигнала после детектирования.

Из соотношения (8.52) можно сделать следующие выводы:

3. Функция имеет одно и то же абсолютное значение при смещении если (рис. 8.26).

Рис. 8.26. Автокорреляционные функции многофазных кодов Фрэнка.

4. Абсолютная величина корреляционной функции равна единице при смещении на единицу вправо или влево от значений, кратных .

5. Фрэнк [22] предположил, что максимальный боковой лепесток есть векторная сумма (при четном ) или

(при нечетном N) единичных векторов, причем вектора повернуты относительно друг друга на Это означает, что для больших отношение пикового значения к боковому лепестку асимптотически приближается к

Характеристики неопределенности, соответствующие сигналу, для которого показаны на рис. 8.27. Величины дополнительных характеристик (т. е. вторичный максимум и ложный сигнал) и их зависимость от допплеровского сдвига представлены на рис. 8.28. Из этих данных очевидно, что характеристика неопределенности этого сигнала несколько напоминает характеристику ЛЧМ сигналов, так как она имеет гребневой характер, часто соответствующий ЛЧМ сигналу. Однако можно заметить, что они имеют также большие пикового значения выходного сигнала) циклические скачки неопределенности в зависимости от допплеровского сдвига. Такие черты делают эти конкретные квантованные фазовые коды неподходящими, когда принимаемые сигналы могут иметь значительный допплеровский сдвиг. Для очень больших допплеровских сдвигов характеристика функции неопределенности распадается на два аналогичных сигнала, разделенных во времени интервалом, равным длительности необработанного сигнала

Коды Хаффмана

Предыдущие примеры, рассмотренные в настоящей главе под названием кодов группы II, включали в себя только дискретные фазовые последовательности. Наилучшее отношение пикового значения к боковому лепестку для было равно . В каждом случае, когда это достигалось, боковые лепестки распределялись равномерно в интервале Отказавшись от ограничения и несколько жертвуя эффективностью использования времени, предназначенного для передачи, можно получить последовательности, которые обладают свойством

где энергия сигнала. Метод, использованный для получения этих последовательностей, был предложен Хаффманом 124]. Учитывая свойства структуры для таких последовательностей, Хаффман назвал их «импульсно-эквивалентными» последовательностями. В общем случае они состоят из пар величин амплитуды и фазы которые могут принимать значения из некоторого континуума. Для удобства эти пары значений последовательностей мы будем обозначать через где

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 8.27. Сигналы на выходе согласованного фильтра для многофазного кода Фрэнка при наличии допплсровского сдвига; произведение длительности на полосу равно есть нормализованный допплеровский сдвиг.

Метод Хаффмана можно объяснить исходя из полинома

где некоторая переменная величина. Полином, соответствующий согласованному фильтру для последовательности (8.59), равен

Рис. 8.28. Поведение существенных параметров, характеризующих сигналы на основе многофазных кодов Фрэнка, в зависимости от допплеровского сдвига; произведение длительности на полосу равно 100.

Отклик согласованного фильтра можно получить из произведения которое записывается в виде

где коэффициент при

Для хаффмановских («импульсно-эквивалентных») последовательностей это произведение сводится к

где представляет энергию кодированного сигнала, полученного на основе этих последовательностей. корней уравнения (8.63) лежат на двух концентрических окружностях с центром в начале координат, радиусы которых определяются формулой

Нетрудно заметить, что эти радиусы взаимно обратны, если

Для этого случая из (8.63) можно заметить, что отношение пикового значения к боковому лепестку зависит только от энергии сигнала Кроме того, мы видим также, что

Из корней произведения одна половина лежит на внутренней окружности, а другая при этих же радиусах — на внешней окружности. В то же самое время одна половина этих корней, взятых с любой окружности, может быть использована для формирования другая половина — для формирования сопряженного полинома. Следовательно, существует 2 - возможных импульсно-эквивалентных полинома, которые могут быть получены при заданном и длине последовательности Коэффициенты этих полиномов обычно являются комплексными.

Полиномы с действительными коэффициентами могут быть получены путем размещения сопряженных пар комплексных корней, выбранных для образования на одной и той же окружности.

Хотя некоторое уменьшение эффективности использования времени, отведенного для передачи, с тем чтобы получить свойство (8.67) можно допустить, тем не менее было бы неразумным не искать для применения наиболее эффективную последовательность. Хаффман установил, что наибольшая эффективность достигается при максимизации отношения Это так называемое отношение «эффективных энергий» имеет две степени свободы, а именно: общую энергию кодированного сигнала и наибольшую величину коэффициентов обозначаемую Обращаясь к соотношению (8.64), мы видим, что изменяется в зависимости от радиуса концентрической окружности, на которой выбираются корни Наибольшее значение однако, зависит от конкретного выбора корней для так же как и от этих радиусов. К сожалению, за исключением метода проб и ошибок не найдено аналитического метода, который приводил бы к наиболее эффективной последовательности Хаффмана. При этом Хаффман предполагал, что отношение энергий для импульсно-эквивалентной последовательности максимизируется; когда с каждой из окружностей берется приблизительно по половине корней.

Общее представление кодированных сигналов Хаффмана, полученное из выражения (8.1), имеет вид

Общее представление функции неопределенности для этих сигналов задается соотношением (8.28), за исключением того, что величины заменяются на и коэффициент сдвига является сопряженным.

Одна из примерных последовательностей Хаффмана длиной 14, которая включает только действительные коэффициенты, имеет следующий вид [25]:

Структура огибающей и характеристики неопределенности этой последовательности показаны на рис. 8.29. Другая последовательность длиной 9 элементов с почти постоянной амплитудой имеет вид [25, 26]

Отношение энергий для этой последовательности равно 8,125. Инджеян 1261 изучал эту последовательность, но при этом положил все величины равными единице и нашел, что отклонение ее свойств от свойства, описанного уравнением (8.57), пренебрежимо мало.

Рис. 8.29. (см. скан) Сигналы на основе кодов Хаффмана и соответствующая поверхность отклика; длина кода равна 14, отношение пикового значения к боковому лепестку составляет 13,1: а — сигнал на входе согласованного фильтра; б - автокорреляционная функция на выходе согласованного фильтра; в — полная поверхность отклика.

Отклик согласованного фильтра на последовательность Инджеяна показан на рис. 8.30.

Отношение эффективных энергий является не единственным важным фактором, определяющим выбор последовательностей Хаффмана. Для этого также может быть необходимо рассмотреть отношение пикового значения к боковому лепестку. Поскольку эти требования обычно несовместимы, то окончательный выбор

конкретной последовательности Хаффмана будет зависеть от того, какой компромисс между этими требованиями допускает специфика конкретной задачи.

Рис. 8.30. Сигналы на основе кода Инджеяна длиной 9 элементов. Входной сигнал имеет постоянную имплитуду; автокорреляционная функция аналогии ни автокорреляционной функции многофазного кода Хаффмана: а — сигнал на входе согласованного фильтра; б - автокорреляционная функция на выходе согласованного фильтра.

Реальное применение указанных систем для сбора данных по ионосферному зондированию изучали Колл и Сторей [27], которые использовали как последовательности Хаффмана, так и бинарные последовательности длиной 17. На рис. 8.31 ясно показано ослабление ложных сигналов, вызванных боковыми лепестками бинарных сигналов, когда используются коды Хаффмана.

Рис. 8.31. Сравнение уровня боковых лепестков для хаффмановских и бинарных последовательностей. Слева: хаффмановскаи последовательность; а — ложный отраженный сигнал от слоя возникший из-за бокового лепестка; С — нормальный отраженный сигнал от слоя справа: же сигналы при бинарной последовательности.

Отношение боковых лепестков для бинарной последовательности, применяемой для этих исследований, составляло 17/2.