2.5. Критерий обратной (апостериорной) вероятности

В начале 50-х годов Вудворд и Дэвис применили шенноновскую теорию информации для решения проблем, связанных с идеальным приемником. Согласно их определению идеальным приемником является приемник, который должен выдавать на выходе всю доступную информацию о радиолокационных параметрах, переносимую принятым сигналом. Эта информация принимает форму распределения вероятностей для каждого измеряемого параметра при условии, что сигнал был принят. Было высказано мнение, что нет необходимости рассматривать наблюдателя как часть приемной системы, как это делается в теории статистических решений, так как наблюдатель не сможет сделать ничего большего, как определить Это распределение вероятностей получило название обратной или апостериорной вероятности. Однако, в свою очередь, оно может быть определено через функцию правдоподобия. Следовательно, за исключением некоторых различий в постоянных коэффициентах пропорциональности, структура идеального приемника остается, по существу той же, что и раньше.

Связь между обратной вероятностью и отношением правдоподобия может быть получена с помощью байесовского правила для условных вероятностей. Для вывода этого соотношения наиболее удобно рассмотреть бинарный случай, причем символ 1 будет приписываться величинам, характеризующим прием при наличии сигнала и шума, а символ величинам, показывающим прием при наличии только шума. Соответствующие вероятности для сигнала и шума или для приема только шума можно тогда записать в виде

где и -априорные вероятности, определенные в соответствии с неравенствами, задаваемыми (2.31) и (2.32),

так что, делая соответствующие подстановки, получаем

и

Как только приемник оценит то тем самым выполнится вся необходимая обработка сигнала. Значения этих двух вероятностей представляют максимальную информацию, доступную относительно двух возможных состояний передаваемого сигнала

которая может быть извлечена из принимаемого сигнала. Если эти вероятности определены, то процесс принятия решения становится автоматическим, поскольку всегда выбирается наиболее вероятное состояние сигнала. Интересно отметить, что этот критерий эквивалентен байесовскому решающему правилу. Это можно видеть, если взять отношение и предположить, что пороговое значение равно единице. Тогда

и когда

а когда

Применение метода обратной вероятности к общим проблемам радиолокации может быть проиллюстрировано на примере системы, которая должна выполнять измерение задержки принимаемого сигнала или дальности. С точки зрения Вудворда [12], идеальный приемник не может сделать ничего больше, как подсчитать условную вероятность того, что сигнал поступил в момент при условии, что принят сигнал Используя правило Байеса, можно выразить совместную вероятность величин в виде

где априорное распределение вероятности сигнала, задержанного на априорное распределение вероятности появления сигнала условное распределение вероятности величины при заданном условное распределение вероятности величины при заданном Сигнал имеет вид

где задержка сигнала и вид передаваемого сигнала. Условная вероятность может быть выражена через функцию правдоподобия, которая в том случае, если представляет собой ансамбль независимых случайных гауссовых переменных, равна

Постоянная есть нормирующий множитель, определяемый условием

Так как радиолокационный приемник должен вычислять то из уравнения (2.42) получаем

Если сигнал присутствует, то есть некоторая постоянная величина. Если мы предположим, что есть равномерное распределение, то оно также имеет постоянное значение. Обе эти константы могут быть включены в так что выражение (2.46) перейдет в

или

Первые две экспоненты зависят от энергии принятого сигнала и переданного сигнала соответственно. Следовательно, они — постоянные величины и могут быть также включены в Тогда можно заметить, что идеальным является приемник, который выполняет операцию, описываемую интегралом

Этот интеграл принимает максимальное значение при при этом значении мы получаем максимальное значение или наиболее вероятное значение Вудворд указывает, что на самом деле нет необходимости вычислять так как с точки зрения рбработки информации достаточно просто выполнить операцию, определяемую уравнением (2.49). Эффективный приемник, который вычисляет (2.49), выполняет над ту же самую необратимую операцию, которая могла быть проделана идеальным приемником при вычислении Необратимость выполняемой приемником операции означает, что искомая информация в сигнале сохраняется, а нежелательная информация разрушается. Кроме того, в случае идеального приемника, как только будет определена восстановить структуру из этой функции уже невозможно.

Сравнивая полученные соотношения с материалами предыдущих разделов настоящей главы, можно отметить, что уравнение (2.49) описывает корреляционный приемник или, что эквивалентно, приемник, который содержит согласованный фильтр, рассмотренный в разд. 2.2. Эффективный приемник максимизирует отношение сигнал/шум для случая белого гауссова шума, что эквивалентно получению полного апостериорного распределения Основное указание Вудворда заключается в том, что с точки зрения теории информации от идеального приемника больше ничего требовать нельзя.

Рис. 2.4. Обобщенное представление возможных методов осуществления оптимальной додетекторной фильтрации. Критерии принятия решения: 1 - правило Байеса; 2 — минимаксный; 3 - Неймана-Пирсона; 4 - «идеального наблюдателя»; 5 — максимума правдоподобия.

При этом подходе не принимаются во внимание такие вопросы, как структура решающего правила или вероятность ошибки в системе. Однако поскольку структура приемной системы, которая максимизирует информацию на выходе приемника, идентична структуре приемников, получаемых при использовании других указанных выше критериев, то ясно, что различные критерии оптимизации функционирования радиолокационных систем тесно связаны между собой.

На рис. 2.4 дано обобщенное представление трех общих теоретических точек зрения на оптимальную додетекторную фильтрацию.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)