4.9. Функция неопределенности вблизи начала координат
Для значений 
близких к началу координат, функция неопределенности может быть описана двумя первыми членами разложения 
в ряд Тейлора. Таким образом,
Оказывается возможным выразить (4.103) через величины, определяющие ширину полосы и длительность сигнала, и через так называемый «коэффициент частотно-временной связи ошибок», который более подробно рассмотрен в гл. 5. Приступая к выводу этого результата, рассмотрим в первую очередь коэффициент при 
в равенстве (4.103). Легко показать, что
Применяя теорему Парсеваля, получим
Мы видим, что выражение в правой части уравнения (4.105) содержит второй момент 
Это выражение используется для определения ширины полосы 
т. е. ширина полосы, обозначаемая здесь через 
определяется как
где 
обозначает энергию сигнала 
и определяется выражением
Коэффициент при та может теперь быть представлен в виде
Рассматривая далее коэффициент при 
в равенстве (4.103), получаем следующее соотношение:
Интеграл в правой части уравнения (4.109) является, очевидно, вторым моментом 
он будет использован для определения длительности сигнала 
обозначаемой здесь через 
помощью следующего равенства:
Поэтому коэффициент при 
может быть выражен в виде
Наконец, определяя коэффициент при 
в равенстве (4.103), получаем
где 
обозначает «мнимая часть...». В гл. 5 будет показано, что параметр сигнала, называемый «коэффициентом частотно-временной связи ошибок» и обозначаемый как 
может быть выражен через величины, входящие в правую часть равенства (4.112). Таким образом,
Поэтому коэффициент при 
равен
Заметив, что 
выразим разложение в ряд Тейлора через параметры сигнала 
в виде
Отсюда видно, что кривая, образованная пересечением 
и плоскостью уровня вблизи максимума 
определяется уравнением
Эта кривая всегда представляет собой эллипс 151. Взяв 
заметим, что равенство (4.116) описывает так называемый «эллипс неопределенности» [131, который показан на рис. 4.6,
Рис. 4.6. Эллипс неопределенности.
Ширина этого эллипса вдоль оси 
равна
Ширина эллипса вдоль оси 
составляет
Наиболее удаленные точки в обоих направлениях для эллипса неопределенности имеют координаты
и
Величины, задаваемые равенствами с (4.117) по (4.120), будут рассмотрены более подробно в гл. 5, где изучается проблема оценки задержки и допплеровского сдвига принимаемого сигнала. Там же показано, что эти равенства определяют наименьшие возможности ошибки в среднеквадратичном смысле.
