9.2. Минимальные дисперсии ошибок измерения времени и частоты для некоторых радиолокационных сигналов с большим произведением длительности на полосу

Выражения для минимальных дисперсий ошибок измерения времени и допплеровского смещения частоты имеют вид (см. гл. 5).

где энергия принятого сигнала; односторонняя спектральная плотность шума, а — эффективная ширина спектра и эффективная длительность сигнала, определяемые соотношениями

где и сигнал, представленный в комплексной форме модуль огибающей комплексного спектра, равный где спектральная компонента вещественного сигнала (предполагаемого узкополосным в смысле определения, данного в гл. 4) в области положительных частот, а средняя частота спектра.

Из (9.1) и (9.2) получаем среднеквадратичные значения ошибок при измерении дальности и скорости где длина волны зондирующего сигнала, а с — скорость его распространения. Параметры выражены в радианах, поэтому значения эффективной полосы и длительности определяются соответственно как Уравнения имеют вид моментов второго порядка и не эквивалентны стандартным определениям длительности сигнала и его ширины спектра по уровню 3 дб.

Если учитываются только положительные частоты спектра вещественного сигнала, то (9.3) принимает вид

Выражения (9.1) и (9.2) для минимальных дисперсий ошибок справедливы при условии, если один из параметров либо предполагается известным и следует оценить второй или если коэффициент частотно-временной связи сигнала равен нулю. Выражения для позволяют произвести сравнение сигналов по точности измерения дальности и скорости. Однако в некоторых случаях при интерпретации полученных значений необходимо проявлять осторожность.

Относительно рассматриваемых ниже сигналов будем предполагать, что они имеют единичную амплитуду и длительность сек. Энергия такого сигнала равна

и поэтому

Эти соотношения справедливы для всех сигналов с прямоугольной огибающей независимо от функции фазовой модуляции В случае сигнала с прямоугольной огибающей спектра, ширина которого ограничена величиной получается аналогичный результат Ранее было показано, что для имеет место другое выражение

Из уравнения (9.8) вытекает, что для любого сигнала с разрывной огибающей, например прямоугольной, При такой огибающей спадание спектра сигнала на краях происходит по закону который, будучи подставленным в уравнение (9.3), привел бы к тому же самому выводу. С точки зрения практики этот результат не имеет никакого смысла, поэтому в качестве метода получения конечных значений в данном и следующем разделах на нескольких примерах рассматривается модификация поведения спектра на краях.

В работе [2] Сколник описывает другой метод, основанный на ограничении спектра сигнала определенным интервалом частот. По существу, каждый из указанных методов представляет собой прием, позволяющий приспособить теорию оценки параметров к удобным в математическом отношении сигналам, которые, как например, импульсы с прямоугольной огибающей, не удовлетворяют условию регулярности.

Используя уравнения (9.3) или (9.5) и (9.4), можно вычислить значения для некоторых из рассмотренных в предыдущих

главах сложных сигналов. На основании полученных значений далее можно подсчитать минимальные среднеквадратичные ошибки измерения дальности и скорости Первым рассмотрим ЛЧМ сигнал с гауссовой огибающей [3], поскольку его как временная, так и частотная зависимости являются регулярными функциями, которые позволяют избежать решения проблемы, поставленной уравнением 9.8).

Сигнал с гауссовой огибающей и линейной ЧМ

Предположим, что рассматриваемый сигнал формируется путем подачи короткого импульса на один из двух сопряженных фильтров с гауссовой амплитудно-частотной характеристикой

последовательно с которым включена дисперсионная линия задержки на сек, обеспечивающая в полосе частот (определяемой шириной спектра сигнала по уровню линейность группового времени запаздывания где фазо-частотная характеристика спектра сигнала. Согласно, работе 13] нормированная огибающая сигнала на выходе такого устройства имеет вид

Используя (9.9), получаем

и

Подобным же образом с учетом уравнения (9.10) будем иметь

Величина произведения характеризует предельную точность одновременных измерений дальности и скорости, причем для получения точных совместных оценок дальности и скорости одним из необходимых условий является достаточно большое значение произведения В гл. 4 было показано, что и что для радиоимпульса с гауссовой огибающей и фиксированной несущей здесь имеет место знак равенства. Из уравнений (9.12) и (9.13), которые

представляют собой точные выражения параметров для ЛЧМ сигнала с гауссовой огибающей, произведение равно

Отсюда вытекает, что при Для сложных частотно-модулированных сигналов условие соответствует предельному случаю радиоимпульса с постоянной несущей, когда параметр частотной модуляции можно считать равным нулю. При условии понимаемом в указанном выше смысле, значение определяется, конечно, преобразованием Фурье функции а не соотношением (9.12), которое было приведено в качестве примера для импульса с гауссовой огибающей. Для ЛЧМ сигнала с гауссовой огибающей эффективная ширина спектра на выходе согласованного фильтра равна По сравнению с номинальным определением ширины спектра по уровню 3 дб здесь имеется в виду уровень соответствующий уменьшению спектральной амплитуды сигнала до значения 0,607.

Наиболее распространенные сложные радиолокационные сигналы имеют прямоугольную огибающую, которая согласно уравнению (9.8) приводит к равенству Самым известным из них является импульсный сигнал с прямоугольной огибающей и линейной

Сигнал с прямоугольной огибающей и линейной ЧМ

Из рис. 6.6 следует, что при больших значениях спектр ЛЧМ сигнала приближается к прямоугольному. Поэтому, пренебрегая тем, что прямоугольная огибающая импульса теоретически приводит к бесконечному значению на основании уравнения (9.5) получаем, что предельное значение параметра равно

Рис. 9.2. Аппроксимация спектра ЛЧМ сигнала в краевой области частот

Ограничиваясь рассмотрением спектральной френелевской области в пределах от до (рис. 9.2), Сколник 121 доказывает,

что для ЛЧМ сигнала предельная величина параметра вычисленная для целых значений произведения равна

где обычные интегралы Френеля. Для значений и 1000 расчет по формуле (9.15) дает соответственно следующие величины параметра Нетрудно заметить, что в данном случае величина параметра стремится к своему предельному значению снизу.

Рис. 9.3. Сравнение функции (9.16) со средним уровнем спектра ЛЧМ сигнала в краевой области.

В тех случаях, когда принимается во внимание частотно-временная связь сигнала, это будет приводить к отрицательным значениям дисперсии ошибок измерения. Если же допустить, что равна своему предельному значений при той же величине частотно-временнбй связи, то это приведет к бесконечно большим значениям среднеквадратичных ошибок измерений (см. разд. 9.3). Метод, позволяющий выйти из этого положения, заключается в экстраполяции спектральной характеристики сигнала вне интервала такой функцией, которая была бы удобной при аналитических расчетах и не приводила бы к тому, что Одной из таких функций, график которой показан на рис. 9.2 пунктиром, является функция, определяемая соотношением

На рис. 9.3 приведены графики средней спектральной амплитуды ЛЧМ сигнала с прямоугольной огибающей и функции (9.16) в краевой области спектра, построенных для двух значений произведения здесь видно, что получается приемлемая степень аппроксимации. Учет уравнений (9.5) и (9.16) в сочетании

с результатом Сколника дает следующее выражение для параметра сигнала с линейной ЧМ:

При из уравнения (9.17) получаем а когда то параметр стремится к величине сверху. Этот результат в значительной мере соответствует интуитивному представлению о поведении параметра сигнала при высоких значениях основанному на предположении, что в предельном случае импульса с постоянной несущей должно становиться большим.

Для того чтобы улучшить степень приближения, можно было бы найти другие аппроксимирующие функции. Однако, как будет показано в следующем разделе, рассмотренный метод также не дает удовлетворительных результатов в тех случаях, когда требуется вычислить коэффициент частотно-временной связи. В связи с этим можно сделать вывод, что оба описанных в общих чертах метода (т. е. усечение спектра или соответствующее изменение его краевых частей) целесообразно использовать главным образом для получения приближенных значений и вычисления на их основе минимальных значений среднеквадратичных ошибок измерения.

Сигнал с прямоугольной огибающей и параболической ЧМ

Этот сигнал первоначально был предложен для достижения лучшего по сравнению с сигналом с -образной ЛЧМ приближения формы функции неопределенности к кнопочной. Его характеристики как сигнала с однонаправленной ЧМ представляют интерес при выяснении влияния кривизны нелинейной функции ЧМ на расчетные относительные точности измерения при некоторых сложных импульсных сигналах с нелинейной ЧМ.

Сигнал с параболической однонаправленной ЧМ, пояснением к которому служит рис. 9.4, определяется уравнением

в котором функция модуляции частоты будет

В предположении при помощи метода стационарной фазы можно вычислить спектр сигнала с параболической ЧМ, который согласно (5] имеет вид

где Из уравнения (9.8) видно, что сигналы со сходными по форме огибающими краевых областей спектра будут иметь одинаковые составляющие параметра обусловленные первым членом этого уравнения. Поэтому при необходимости для рассматриваемого сигнала можно было бы использовать ту же самую аппроксимирующую функцию (9.16), которая применялась для ЛЧМ сигнала с прямоугольной огибающей.

Рис. 9.4. Параболические однонаправленные функции ЧМ.

Предполагая распределение спектра на краях симметричным относительно частоты из уравнения (9.20) можно получить в чистом виде среднюю частоту спектра для параболической ЧМ

Для спектра (9.20) определяемая основными спектральными компонентами составляющая равна

Используем для краевых областей спектра экспоненциальную аппроксимирующую функцию (9.16); тогда для сигнала с однонаправленной параболической которого произведение длительности на полосу значительно больше единицы, параметр запишется в виде

Другие сложные импульсные сигналы

В гл. 3 и 7 были описаны некоторые методы коррекции формы спектра сигнала на выходе согласованного фильтра, предназначенные для уменьшения неоднозначности, обусловленной наличием у сжатого импульса боковых лепестков по дальности. Они сводились к операциям амплитудного взвешивания огибающей зондирующего импульса, взвешивания частотной характеристики приемника (метод рассогласования) или использовали нелинейную ЧМ для сигнала с прямоугольной огибающей [6]. При употреблении этих методов уменьшение уровня боковых лепестков по дальности сопровождается расширением сжатого импульса. Это обстоятельство отразится на рассчитанных значениях параметра В случае применения операции взвешивания частотной характеристики рассогласованного приемника множитель уравнении (9.5) заменяется на где спектр сигнала на входе рассогласованного] фильтра, весовая функция. Примером сигнала с нелинейной ЧМ является импульс, спектр которого на выходе согласованного фильтра описывается функцией косинус в квадрате (уровень его боковых лепестков по дальности не превышает — 32 дб [71). Спектр этого сигнала (при ) определяется следующим уравнением:

Как и раньше, имеем Для рассматриваемого нормализованного спектра вычисляется на основании уравнения (9.5)

В табл. 9.1 приводятся значения для сигналов, у которых описываются либо функцией Хэмминга, либо косинусом. Внесенные в табл. 9.1 значения для сигналов с

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

прямоугольной огибающей и нелинейной ЧМ представляют собой предельные значения параметра, вычисленные при условии, что произведение длительности на полосу сигнала существенно больше единицы.

Регулярная последовательность импульсов с прямоугольной огибающей или сигналсо спектром в виде равномерно смещенных полос

Для периодической последовательности, состоящей из прямоугольных импульсов, показанных на рис. 9.5, величина параметра была получена Келли [8] в виде

где

длительность отдельного импульса, общая длительность последовательности импульсов. При условии получается огибающая в виде одного широкого прямоугольного импульса и выполняется равенство

Рис. 9.5. Периодическая последовательность, состоящая из импульсов (а); периодическая последовательность, состоящая из частотных полос

Это же самое значение величины получается также при когда длительность каждого импульса стремится к нулю.

Для сигнала, частотный спектр которого состоит из равномерно смещенных полос, аналогичных по форме изображенной на рис. 9.5 импульсной последовательности, величина запишется в виде

где

а ширина полосы частотного подынтервала. При параметр Это максимальная величина параметра которая может быть получена при ширине спектра сигнала, ограниченной интервалом Аналогично этому для сигнала, состоящего из двух узких импульсов, отстоящих друг от друга на сек, имеем Такому же значению равна максимальная величина для сигнала с ограниченным по времени периодом В двух последних случаях ограниченных по полосе или длительности сигналов одинаковой энергии получаются теоретически минимальные значения среднеквадратичных ошибок при измерении соответственно дальности и скорости