7.4. Влияние весовой обработки на отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

В предыдущем разделе было показано, что как временнбе взвешивание передаваемого сигнала, так и частотное взвешивание функции отклика приемника могут быть использованы для формирования идентичных сжатых сигналов на выходе согласованного фильтра. Общность этой процедуры не пострадает, если весовая обработка разделяется между передаваемым сигналом и приемником со сжатием импульса, как это было бы в случае применения сопряженных согласованных фильтров в приемнике и передатчике.

Рис. 7.12. Сравнение огибающих импульса при весовой обработке и прямоугольной огибающей.

Для ЛЧМ сигнала временная весовая функция и частотная весовая функция необходимые для формирования одного и того же выходного сигнала, по существу, идентичны.

Если используется временнбе взвешивание и средняя энергия передаваемого сигнала может быть выбрана равной энергии невзвешенного сигнала (рис. 7.12, а), то отношение сигнал/шум на выходе приемника не зависит от того, где производится весовая обработка — в передатчике или в приемнике. Однако более реалистичным является условие, что предаваемый сигнал (взвешенный или нет) всегда имеет ту же самую предельную пиковую мощность (рис. 7.12, б). В этом случае предпочтительно всю весовую обработку проводить в приемнике. Такое заключение сделано на основе рассмотрения четырех случаев временнбго и/или частотного взвешивания, показанного на рис. 7.13. В приведенных ниже рассуждениях предполагалось, что невзвешенный спектр ЛЧМ сигнала прямоуголен и занимает полосу . Это позволяет использовать функционально идентичные временнбй и частотный отклики" при весовой обработке в приводимом ниже выводе соотношений, которые для случаев I—III основаны на определении отношений сигнал/шум на выходе фильтра сжатия для аналогичных сложных сигналов. Во всех рассматриваемых случаях шум на входе приемника считается белым, имеющим плотность мощности в области положительных частот

Рис. 7.13. (см. скан) Четыре основных случая при рассмотрении отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра (нормировка по амплитуде).

Случай. I: Временная весовая обработка. Используя результат уравнения (7.28), пиковое напряжение выходного сигнала при запишем в виде

Средняя выходная мощность шума равна

Для случая I (прямоугольная полоса пропускания приемника) это дает

Таким образом, отношение сигнал/шум, Задаваемое формулой

будет равно

Случай II: Частотная весовая обработка. Частотная весовая функция, эквивалентная временнбй весовой функции для случая равна

где эквивалентность является следствием зависимости между частотой и временем для ЛЧМ сигнала

Амплитуда спектра входного сигнала (спектр предполагается прямоугольным) равна

для нормированного принимаемого сигнала с единичной амплитудой, так что изменение выходного напряжения во времени определяется формулой

где Сделав замену переменных

и замечая, что

находим выражение для максимального выходного напряжения

Найденное выше выражение эквивалентно (7.36).

Для этого случая средняя выходная мощность шума будет (положив )

Таким образом отношение сигнал/шум на выходе

Случай III: Реализация согласованных фильтров — временное и частотное взвешивание. Аналогично случаю II можно показать, что пиковое напряжение и в этом случае определяется формулой, идентичной (7.42) (для упражнения доказательство этого предоставим читателям). Однако в этом случае средняя выходная мощность шума будет

и отношение сигнал/шум на выходе

Нормируя интегралы в (7.39), (7.43) и (7.46), мы можем записать соответствующие отношения сигнал/шум для каждого из рассмотренных выше случаев в таком виде [отметим взаимозаменяемость

Из общих свойств функций частотного отклика приемника для этих случаев следует, что

Поэтому

Знаки равенства в соотношениях (7.50) и (7.51) применимы только в случае, если весовые функции однородны [т. е. или Когда же весовые функции неоднородны, что обычно имеет место, если мы хотим добиться уменьшения боковых лепестков, то применение весовой обработки в приемнике представляется наилучшим из возможных методов с точки зрения сохранения характеристик обнаружения, даже несмотря на потери рассогласования, которые происходят из-за рассогласования отклика приемника с распределением амплитудного спектра.

Потери на рассогласование можно определить исходя из того, что выходное отношение сигнал/шум для системы согласованной фильтрации ЛЧМ сигналов с прямоугольной огибающей (случай IV) дается формулой

Отношение результатов для случаев II и IV определяет ухудшение или потери на рассогласование, происходящие при весовой обработке в приемнике. Таким образом мы получаем

При использовании выражения (7.53) для подсчета потерь на рассогласование для различных весовых функций следует помнить, что представляет собой полосовую функцию отклика приемника, нормализованную к единичному параметру ширины полосы.

Для входного сигнала с прямоугольной огибающей произвольной амплитуды А отношение пиковой амплитуды на выходе согласованного фильтра к шуму, получаемое из уравнения (7.52), равно

Так как энергия этого входного сигнала на промежуточной частоте

то отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра в общем случае определяется как

Формула (7.56) представляет собой соотношение, применимое ко всем сигналам, обрабатываемым с помощью согласованных фильтров [8]. Выражение (7.53) для потерь на рассогласование при весовой обработке в приемнике также применимо к сигналу общего вида, обрабатываемому с помощью согласованных фильтров, если огибающая сигнала на входе приемника имеет прямоугольную форму.

Вывод о том, что весовая обработка в приемнике является более эффективным методом, чем весовая обработка в передатчике, имеет важное практическое значение, так как управление огибающей на выходе мощных передатчиков в большинстве случаев не осуществимо. Пример весовой обработки при использовании согласованных фильтров в приемнике и передатчике для ЛЧМ сигнала с гауссовой огибающей и приемника с гауссовой весовой обработкой рассмотрен Фоулом и др. [9]. При лабораторных испытаниях было показано, что этот сигнал имеет уровень боковых лепестков равный —40 дб. Сравнение потерь в отношении сигнал/шум в приемнике для этого сигнала с потерями для ЛЧМ сигналов с прямоугольной огибающей при использовании частотной весовой обработки при уровне боковых лепестков —40 дб приведено ниже.

При сравнении ЛЧМ сигнала, имеющего гауссову огибающую, с другими сигналами были сделаны следующие предположения:

1. Возможно создание фильтра сжатия на основе дисперсионной линии задержки с дифференциальной задержкой в полосе Это в основном определяет временнбй интервал в котором и гауссова и прямоугольная огибающая могут быть использованы для передаваемого сигнала.

2. Гауссов сигнал усечен в точках т. е. там, где его характеристики несущественно влияют на характеристики сжатого сигнала, как описано Фоулом и др. 19].

3. Все сигналы имеют одну и ту же ограниченную пиковую мощность.

Исходя из этих предположений, можно сравнить сигналы, имеющие гауссову огибающую, с сигналами с прямоугольной огибающей. Для случая нормированное выражение для гауссова сигнала, как показал Фоул и др. [9], приближенно записывается в виде

Заметив, что эта функция равна при получаем

Поскольку скорость изменения частоты для прямоугольного и гауссова сигналов одна и та же, то

Используя функцию неопределенности, введенную Фоулом и др., можно показать, что огибающая гауссова сжатого импульса имеет вид

Сравнивая ширину импульсов на уровне 3 дб, получаем:

Гауссова огибающая: ширина сжатого импульса Прямоугольная огибающая: ширина сжатого импульса (без весовой обработки).

Весовая обработка по Хэммингу: ширина сжатого импульса

На основе предположения (3) энергия гауссова импульса составляет

а энергия прямоугольного импульса равна

Результаты сравнения даны в виде следующей таблицы:

(см. скан)

Таким образом, при определенных выше условиях сигнал с гауссовой огибающей имеет проигрыш в 2,2 дб по характеристикам обнаружения для идеального уровня боковых лепестков —40 дб по сравнению с сигналом, имеющим прямоугольную огибающую.