4.2. Комплексное представление сигнала

Класс радиолокационных сигналов состоит из всех действительных сигналов, которые могут быть представлены в виде

где огибающая и функция фазовой модуляции являются медленно изменяющимися функциями времени по сравнению с Эти сигналы обладают тем общим свойством, что их преобразование Фурье сконцентрировано главным образом в окрестности несущей частоты Более того, поскольку они являются действительными функциями времени, то можно показать, что

Для теоретического исследования преобразований, включающих только линейные операции над или над сигналом вида (взвешенная функция времени), удобно представлять в виде

где некоторая комплексная функция, действительная часть которой, выделяемая с помощью оператора равна При такой записи сигнала вычисления в общем случае содержат меньшее число операций, если заменить на и использовать оператор выделения действительной части после выполнения всех линейных операций над В принципе это значительно более простая процедура, но, к сожалению, практически трудно, если не невозможно, точно определить функцию соответствующую определенному виду сигнала.

Общий вид часто выражается соотношением

Однако если только не является «узкополосным сигналом», форма, задаваемая равенством (4.6), так же неудобна для использования, как и Правильная форма записи для более удобного анализа линейных систем задается равенством

Эта форма приписывается Габору [11]. Мы видим, что действительная часть, как и требуется, представляет собой в то время как мнимая часть равна

где гильбертовское преобразование Мнимую часть заданной соотношением (4.7), можно сравнить с мнимой частью (4.6), которая определяется просто как

где обозначает мнимую часть В общем случае (4.6) и не будут равны.

Преимущества, которые мы получаем, используя комплексное представление Габора, можно проиллюстрировать на примере вычисления энергии, содержащейся в Энергия сигнала определяется в виде

Читатель может сам убедиться в трудности вычисления из этого равенства путем подстановки выражения для сигнала в (4.10). В общем случае при вычислениях придется учитывать слагаемые разностной и суммарной частот. Можно легко показать, что энергия, определяемая с помощью комплексного представления, запишется как

Использование для расчетов этого выражения может быть таким же трудным, как и (4.10). Однако, если подставить в него то соотношение (4.11) сведется к

Оператор в равенстве (4.12) опущен, так как величина всегда действительна. Очевидно, что это выражение более удобно, чем (4.11). Оно сводится к этой простой форме, так как

где Этот результат также означает, что

и

Для доказательства (4.13) применим теорему Парсеваля и получим

где -преобразование Фурье, соответствующее Правая часть равенства очевидно исчезает, если

Доказательство завершается записью следующей пары преобразования Фурье:

В общем случае для других линейных операций над таких, как интеграл свертки, можно показать, что

где комплексное представление соответственно. Когда суть габоровские комплексные представления, то, преобразуя равенство (4.19) аналогично (4.12), получаем

Отсюда видно, что если то равенство (4.20) описывает автокорреляционную функцию

В предварительных замечаниях этого раздела мы упоминали о трудностях определения габоровского сигнала; они возникают вследствие того, что обычно оказывается невозможным выразить гильбертово преобразование в замкнутой форме. Поэтому практически при исследовании конкретных сигналов комплексное представление Габора часто аппроксимируется соотношением (4.6). Эта аппроксимация, однако, становится точным представлением, если будет «узкополосным, сигналом». В общем случае ошибка аппроксимации задается как функция времени соотношением

где

Равенство (4.21) зависит, очевидно, только от характера изменения в области отрицательных частот; практически используемые импульсные радиолокационные сигналы будут всегда связаны с некоторым «заползанием» в область отрицательных частот, так как они всегда имеют конечную длительность. Однако если мало полоса частот сигнала), то ошибка будет незначительна. Для большинства радиолокационных сигналов данное

условие будет удовлетворяться, так что величиной можно пренебречь. Но это не всегда справедливо для сигналов звуковых локаторов, и поэтому следует более осторожно здесь использовать комплексное представление (так же как и для некоторых радиолокационных сигналов с очень большой полосой частот).

В остающейся части этой главы для записи сигналов мы будем использовать их комплексные представления. Чтобы избежать каких-либо недоразумений, будем предполагать, что для конкретных сигналов, которые рассматриваются в этой главе, комплексные представления аппроксимированы при необходимости с помощью соотношения (4.6). Однако для общего рассмотрения сигналов в этой главе, так же как и в последующих главах, будем пользоваться точным представлением Габора. Мы применим следующее описание комплексного представления:

где