4.5. Свойства функции неопределенности

Изучению свойств функции было посвящено большое число работ с тех пор, как ее впервые ввели в качестве основы для построения теории радиолокационных сигналов. Главной целью этих исследований явилось определение необходимых и достаточных условий для того, чтобы функция двух переменных могла быть функцией неопределенности. Хотя полученные результаты не позволили достигнуть этой цели, было получено много сведений об общих свойствах Эти свойства рассмотрены в настоящем разделе. В дальнейшем изложении нам будет удобно описывать свойства функции с помощью функции которая определяется выражением

Это соотношение получено введением в (4.2а) новой переменной с целью получения симметричной формы

или путем замены в равенстве (4.26), с тем чтобы получить

Эти преобразования не существенны для теории построения сигналов, так как разработчик обычно интересуется только величиной а не ее фазовой структурой; в результате же использования функции может измениться только фазовая структура.

Свойство I: Симметрия относительно начала координат

Из равенств (4.41) и (4.42) легко заметить, что

откуда следует

Кроме того, Штутт [6] установил также, что

Следовательно, фазовая функция обладает нечетной симметрией.

Свойство II: Наибольшее значение

Свое наибольшее значение функция неопределенности принимает в начале координат при т. е.

Доказательство может быть получено применением неравенства Шварца.

Таким образом, применяя это неравенство, находим

Но так как

то получаем неравенство (4.46).

Свойство III: Временной масштаб

Если соответствует то соответствует Доказательство получают прямой подстановкой нового переменного в (4.41).

Свойство IV: Параболическая фаза

а) Время

Если соответствует то соответствует Для доказательства производят прямую подстановку в равенство (4.41). Широко известный пример получается, если

Новый сигнал представляет собой ЛЧМ импульс.

б) Частота

Если соответствует то соответствует Доказательство получают прямой подстановкой в (4.42).

Свойство V: Инвариантность объема

Если есть функция неопределенности, то можно показать, что

Это свойство обычно называют «принципом неопределенности радиолокации» 141, или иногда «законом сохранения неопределенности» 151. Из него можно сделать вывод, что общая потенциальная неопределенность одинакова для всех сигналов, обладающих одной и той же энергией. Кроме того, это равенство представляет собой необходимое условие для того, чтобы функция двух переменных была функцией типа По-видимому, это наиболее важное ограничение, накладываемое на функцию неопределенности, так как оно означает, что все сигналы одинаково хороши (или плохи), если они сравниваются без учета специфической радиолокационной обстановки. Однако каждому из сигналов соответствует свое распределение неопределенности. На рис. 4.3 показаны распределения неопределенности для некоторых имеющих большое значение радиолокационных сигналов. Именно эта возможность варьировать распределение неопределенности совместно с пониманием разработчиком основ радиолокационных систем позволяет производить систематическое изучение и поиск подходящих сигналов для передачи. Из этого следует, как показали Прайс и Хофштеттер [121, что более общим условием является

где — любое целое число, большее единицы.

Сейчас мы проведем доказательство равенства (4.50), доказательство же равенства (4.51) можно найти в работе Прайса и Хофштеттера 1121. Заметим, что

Рис. 4.3. (см. скан) Примеры функций неопределенности. Вид контуров сечений на некотором постоянном уровне относительно а — короткий импульс с постоянной несущей; б - ЛЧМ импульс; в — однородная последовательность импульсов (см.-гл. 8); г - импульсная последовательность, в которой несущая частота изменяется от импульса к импульсу (см. гл. 8).

Следовательно,

и

Последнее равенство может быть упрощено с помощью следующей пары преобразований Фурье:

и

Подставляя эти выражения в правую часть (4.54), получаем, что

Так как

то доказательство тем самым завершено.

Рассмотрим второй возможный подход к доказательству свойства V, который приводит к получению некоторых важных интегралов. Для этого подхода необходима следующая пара по Фурье:

Если эту пару по Фурье вместе с (4.55) применить к уравнению (4.54), то в результате получим

Отсюда видно, что внутренние интегралы равны. Эта связь рассмотрена в разд. 4.11. Используя теорему Парсеваля, можем записать

Сейчас мы рассмотрим Другой подход к доказательству свойства V, для чего необходима следующая пара по Фурье:

Если эту пару совместно с (4.56) применить к уравнению (4.54), то получим

Мы снова видим, что внутренние интегралы равны. Используя теорему Парсеваля, получаем следующее соотношение:

Этот результат обсуждается далее в разд. 4.11.

Свойством инвариантности объема также обладают рассогласованные функции неопределенности; они возникают в том случае, если устройство обработки принимаемого сигнала не согласовано с передаваемым сигналом. В качестве примеров можно указать на методы линейного рассогласования задержки и уменьшения боковых лепестков по оси дальности, рассмотренные соответственно в гл. 6 и 7. Как именно рассогласование приемника влияет на распределение неопределенности в отдельных локальных областях плоскости неопределенности будет зависеть от конкретной природы внесенного рассогласования.

Свойство VI: Свойство самотрансформации Если есть функция неопределенности, то

Доказательство этого свойства, по существу, совпадает с доказательством предыдущего свойства. Таким образом, левая часть равенства (4.65) расшифровывается с помощью подстановки других интегральных форм для что дает в результате

Этот интеграл может быть сейчас упрощен с помощью следующих пар преобразований:

и

При введении переменных интеграл в равенстве (4.66) сводится к виду

Легко заметить, что этот интеграл представляет собой произведение

Свойство VII: Инвариантность по отношению к повороту

Функция неопределенности обладает свойством оставаться инвариантной при преобразованиях, когда плоскость поворачивается на угол 6, так что

Таким образом, если есть функция неопределенности, которая соответствует то также функция неопределенности, соответствующая сигналу

Для класса сигналов, называемых эрмитовыми, найдено, что

Дополнительная информация относительно этого класса сигналов приводится в разд. 4.12 настоящей главы, где даны некоторые важные примеры функций неопределенности.

Свойство преобразования функции неопределенности при повороте осей координат в другую функцию неопределенности было обобщено Райсом [8]. Он установил, что если

то соответствует сигналу

Новая функция неопределенности может быть выведена с помощью последовательного использования свойств II, IV,а и IV,б. Таким образом, если соответствует то соответствует Если теперь есть преобразование Фурье то функция неопределенности, которая соответствует сигналу со спектром есть с характеристическим определителем

Свойство VIII: Правило умножения

Если есть функция неопределенности, соответствующая функция неопределенности, соответствующая то для соответствующая функция неопределенности задается свэрткой относительно допплеровской оси

Аналогично, если то