5.8. Метод максимального правдоподобия

С помощью неравенства Крамера-Рао могут быть получены выражения для предельной точности одновременной оценки параметров радиолокационного сигнала, выраженные через эффективные значения таких параметров сигнала, как ширина полосы и

длительность. Это рассмотрение было проведено независимо от метода оценки параметров. Таким образом нам остается доказать применимость методов согласованной фильтрации для «наилучшей» оценки параметров. Так как определение «наилучшей» в этой главе нами ранее трактовалось в смысле минимума дисперсии ошибки, то применимость будет доказана с помощью подхода, основанного на методе максимального правдоподобия, ввиду того, что он обеспечивает асимптотически эффективные оценки (см. разд. 5.4) для больших отношений сигнал/шум в том случае, если шум имеет гауссов характер.

Метод максимального правдоподобия является, вероятно, наиболее общим методом оценки неизвестных параметров, которые должны быть определены, с тем чтобы составить полное статистическое описание бесконечного множества случайных величин. Так как общая постановка проблемы оценки Параметров включает в себя оценку нескольких неизвестных параметров, то метод максимального правдоподобия требует одновременного решения такого числа уравнений, которое равно числу оцениваемых параметров. Эти уравнения имеют вид

где через обозначена функция правдоподобия (см. разд. 5.3), которая описывает изменение заданного распределения совместной вероятности в данной точке выборочного пространства через набор параметров Так как достигают своего максимального значения при одних и тех же значениях 0, то для удобства система (5.59) заменяется системой

В данный момент графическая иллюстрация, возможно, поможет читателю лучше представить себе сущность метода максимального правдоподобия. Предположим, например, что нам нужно оценить среднее значение бесконечного множества случайных величин, имеющих гауссово распределение. Обозначим его через Если одна величина представляет собой выборочное значение из этого множества, то в соответствии с методом максимального правдоподобия она должна использоваться как оценка среднего значения, поскольку максимальная точка гауссового распределения вероятности может быть выбрана таким образом, что попадет в эту выборочную точку. Читатель заметит, что среднее значение гауссового распределения совпадает с точкой, в которой оно имеет максимальное значение. Дисперсия ошибки для этой оценки среднего

значения равна, очевидно, дисперсии рассматрийаемого множества величин.

Можно уменьшить дисперсию ошибки оценки, используя дополнительные выборочные значения множества в качестве основы для оценки среднего значения. Предположим теперь, что из множества взяты две выборки, обозначенные через соответственно. Эти выборки можно рассматривать как реализации случайных переменных соответственно. Такие случайные переменные имеют распределение совместной вероятности, обозначаемое как Оно может быть представлено как поверхность над координатной плоскостью, на которой лежат координаты Более того, две выборки являются координатами некоторой точки на этой плоскости. Так как обе случайные переменные имеют одно и то же среднее значение то на координаты максимального значения гауссовой поверхности теперь накладывается ограничение, что эта точка должна лежать на прямой линии, определяемой уравнением

Рис. 5.2. Графическая иллюстрация оценки по критерию максимального правдоподобия для двух выборок.

В соответствии с методом максимального правдоподобия оценка среднего значения получается из набора координат максимума поверхности, которая максимизирует распределение совместной вероятности выборочной точки Так как гауссова поверхность обладает симметрией вращения, то координаты максимума поверхности, который максимизирует будут лежать, как показано на рис. 5.2, на пересечении перпендикуляра, опущенного из выборочной точки на прямую с этой прямой.

Теперь мы можем выразить координаты максимума поверхности, который максимизирует через координаты выборочной точки Чтобы сделать это, достаточно просто выразить длину линии до точки через и с другой стороны через Оценка получается в том случае, если приравнять эти величины друг к другу. Длина линии, выраженная через равна

где множитель есть направляющий косинус прямой. С

другой стороны, длина отрезка прямой, выраженная через равна

Следовательно, оценка среднего значения есть

Этот результат, конечно, хорошо известен. Нетрудно определить, что дисперсия ошибки для такой оценки среднего значения равна

Отметим, что в данном конкретном случае метод наименьших квадратов при оценке среднего значения дает тот же самый результат. Оценка среднего значения с помощью метода наименьших квадратов получается путем минимизации расстояния между выборочной точкой и точкой определяющей максимум поверхности. Однако эти два метода оценки параметра не всегда дают одну и ту же оценку; это зависит от структуры совместной вероятности.

Для того чтобы завершить графическую иллюстрацию метода максимального правдоподобия, увеличим число выборочных значений до . В этом случае ограничения, накладываемые на расположение максимума гиперповерхности для соответствующего многомерного гауссового распределения вероятности, будут иметь вид . В соответствии с этим длина многомерной линии составит

где, как и прежде, есть направляющий косинус этой линии. С другой стороны,

Следовательно,

откуда нетрудно найти, что дисперсия ошибки равна

Прежде чем перейти к рассмотрению специфических радиолокационных задач, приведем формальный вывод для этой конкретной оценки. Однако для согласования этого вывода с последующим рассмотрением удобнее несколько видоизменить постановку задачи. Будем теперь предполагать, что нам необходимо оценить неизвестный уровень постоянного напряжения, которое поступает на вход приемного устройства совместно с белым гауссовым шумом.

Нетрудно заметить, что обе эти задачи эквивалентны. В последнем случае, однако, выборок будут представлять собой независимые наблюдения временнбй последовательности.

Пусть V есть неизвестный уровень постоянного напряжения, тогда для независимых наблюдений временной последовательности, обозначенных как причем выборки берутся в той последовательности, в которой они появляются, функция правдоподобия имеет вид

где плотность мощности шума и ширина полосы соответственно. Вычислим логарифм этого выражения и продифференцируем его по V, что даст

Приравняв это выражение к нулю и разрешив его относительно V, получаем оценку в виде

Нетрудно определить дисперсию этой оценки; она равна

Возвращаясь теперь к специфической радиолокационной задаче, предположим, что напряжение V есть некоторая заданная функция времени, которая полностью известна, за исключением ее временного и частотного расположения. Это напряжение будем обозначать через и считать, что оно представляет собой отраженный радиолокационный сигнал. Как и в предыдущем разделе, мы далее будем использовать для удобства комплексное представление

В графическом представлении последовательность входных данных сводится к выборочной точке в 2 мер ном пространстве. Для случая единственного неизвестного параметра расположение точек, которые связаны ограничениями, накладываемыми на максимум гиперповерхности, определяет некоторую многомерную кривую. Каждая точка на этой дуге определяет единственное значение

параметра. В случае двух параметров расположение точек, которые связаны ограничениями, накладываемыми на максимум гиперповерхности, определяет поверхность. Каждая точка на этой поверхности представляет единственный набор значений параметров. Такой подход может быть расширен на любое число неизвестных параметров.

В отличие от предыдущего случая оценки параметров радиолокационного сигнала нельзя получить точно через выборок входной последовательности сигналов. Для оценки этих параметров надо определить положение (на некоторой кривой, поверхности или гипериоверхности в зависимости от конкретного рассматриваемого случая) максимума многомерного гауссового распределения и максимизировать функцию правдоподобия. По существу, для этого необходимо вычислить корреляцию набора измерения выборочных значений с различными наборами выборочных значений для всех возможных отраженных сигналов при отсутствии шума.

Соображения, приведенные в последнем параграфе, представляют собой эвристическое доказательство целесообразности применения согласованной фильтрации, так как обработка с помощью согласованного фильтра эквивалентна корреляционной обработке (см. гл. 2). Аналогично рассмотренному выше примеру можно получить и формальное доказательство этого результата. Используя комплексное представление сигнала, которое введено в разд. 5.6, из равенства (5.20) получаем выражение для функции правдоподобия:

С помощью равенства (5.71) нам необходимо составить набор параметров определяющих временное и частотное положение отраженного радиолокационного сигнала, которые максимизируют Как было ранее замечено, независимо от того, где расположен максимум в координатах максимум логарифма расположен в той же самой точке. Следовательно,

Первое слагаемое в правой части (5.72) не зависит от параметров следовательно, его можно опустить. Далее, второе слагаемое в правой части (5.72) может быть записано в виде

Первые два слагаемых в правой части уравнения (5.73) не зависят от оцениваемых параметров и также могут быть опущены. Следовательно, необходимо сосредоточить внимание на последнем слагаемом. Если учесть знаки всёх слагаемых в (5.73), то становится очевидным, что функция правдоподобия будет достигать максимума, когда это слагаемое максимизировано по отношению к параметрам и . Математическая операция, которую описывает слагаемое, представляет собой вычисление корреляции между входным сигналом и сигналом изменяющимся в зависимости от и . Тем самым мы получили формальное доказательство необходимости применения согласованной фильтрации.

При этом рассмотрении игнорировался тот факт, что амплитуда, так же как и фаза принимаемого радиолокационного сигнала, обычно не известна. Поскольку эти параметры не несут полезной информации о положении цели, но могут влиять на точность оценки важных параметров, то, следовательно, необходимо учесть их наличие путем включения в исходное определение функции правдоподобия. Учет этих «паразитных» параметров будет, естественно, влиять на вид обработки, которую следует использовать. Было показано, что включение указанных факторов изменяет предварительно рассмотренную методику обработки сигналов; в этом случае выходной сигнал согласованного фильтра должен быть подан на квадратичный детектор [9, 10, 14—16]. Максимальное значение сигнала на выходе детектора при этом равно

и используется для определения оценок и . На основе указанного метода оценки параметров была получена линейная аппроксимация дисперсии ошибок измерений, которая справедлива для больших отношений сигнал/шум [9,10]. Этот результат может быть выражен посредством функции неопределенности следующим образом:

где элементы матрицы моментов ошибок, которые могут быть определены через элементы обратной матрицы моментов

где индекс обозначает различные комбинации Непосредственная подстановка выражения для в виде

где

приведет к получению тех же результатов, которые даны в конце предыдущего раздела. Нетрудно заметить, что члены обратной матрицы моментов ошибки являются коэффициентами при членах второго порядка разложения в ряд Тейлора [14]. Они были определены в разд. 4.9.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)