11.2. Анализ искажений методом парных эхо

Во многих применениях желательно уменьшить самые большие боковые лепестки по дальности сжимаемого импульсного сигнала на выходе согласованного фильтра до уровня дб относительно максимального значения амплитуды сжатого импульса. Ниже будет показано, что наличие искажений амплитуды и фазы сигнала в приемнике может дать паразитные лепестки, или так называемые парные эхо, подобные по внешнему виду боковым лепесткам по дальности, но которые нелегко устранить простыми методами взвешивания.

Рис. 11.1. Представление при анализе идеального фильтра (а) и фильтра с искажениями

В связи с этим при практическом использовании согласованного фильтра в РЛС бессмысленно говорить о низких уровнях боковых лепестков по дальности, если не оговариваются допустимые уровни искажений во всех элементах системы, или если в ее состав не входит аппаратура для компенсации искажений.

Рис. 11.1, а иллюстрирует работу идеального фильтра без искажений, через которые пропускается сигнал. На выходе он имеет спектр так что неискаженный сигнал на выходе фильтра в функции времени запишется

Уравнение (11.1) описывает идеальную форму сигнала без искажений. Если последовательно с идеальным фильтром соединить искажающий фильтр, как показано на рис. 11.1. б, то характеристика

искажающего фильтра будет оказывать влияние на выходной сигнал, при этом

Макколл [1] и Уиллер [2] предложили сделать допущение, что при анализе искажений характеристики искажающего фильтра имеют вид синусоидальных функций.

Рис. 11.2. Синусоидальные компоненты искажающей функции

Амплитуда и фаза спектральной характеристики искажающего фильтра были выбраны соответственно в виде

Поведение этих основных компонент искажения показано на рис. 11.2. Результирующая искажающая функция принимает вид

Подставляя уравнения (11.3) и (11.4) в выражение для искаженного выходного сигнала, имеем

где . В элементарном случае тогда, представляя член, определяющий амплитудные искажения, в виде

получаем выражение, которое справедливо только при аплитудных искажениях

Замечая, что константа в мнимой части экспоненты означает сдвиг по времени начала отсчета, уравнение (11.7) можно записать в виде

где представляют собой опережающую и запаздывающую копии неискаженного сигнала, взвешиваемые множителем Как следствие очевидной симметрии искажающих членов в выражении (11.8), для их обозначения появился новый термин «парные эхо».

Когда имеются только фазовые искажения (т. е. сигнал на выходе искажающего фильтра определяется соотношением

Функцию, определяющую искажения фазы, можно заменить разложением по бесселевым функциям

Подставим это выражение в соотношение (11.8) и осуществим требуемое интегрирование

В случае чисто фазовых искажений существует бесконечный набор парных эхо. Однако если мало, например менее 0,5 рад, то можно приближенно принять

и выражение (11.11) сводится к

Таким образом, при условии относительно малых фазовых ошибок, последствия фазовых искажений аналогичны результатам амплитудных искажений, за Исключением того, что члены, описывающие эхо, имеют противоположную полярность. Выражения (11.8) и (11.12) можно объединить так, что совместное влияние амплитудных и фазовых ошибок, заданных соотношениями (11.3 а) и (11.3 6), будет выражено следующим образом:

Если фазовые искажения не малы, то в таком случае интегрирование уравнения (11.5) дает

где, как и раньше,

Преобразование выражений, стоящих под знаком суммы в (11.14), приводит к комбинациям следующего типа:

так что, применяя рекуррентную формулу для функций Бесселя

для искаженного выходного сигнала можно получить следующую формулу:

Она представляет собой общее выражение для искаженного сигнала на выходе цепи, имеющей фазовые и амплитудные ошибки одинаковой частоты. В случае малых фазовых искажений выражение (11.17) сводится к формуле (11.13), если использовать приведенные выше аппроксимации для функции Бесселя.

Если искажающая функция цепи не выражается в виде простой гармонической функции, ее можно рассматривать как сложную функцию, состоящую из компонент разложения Фурье. В таком случае сложную искажающую функцию можно представить в виде

Для того чтобы получить компоненты Фурье, искажающей функции, необходимо предположить, что она является функцией с ограниченным спектром, и затем считать, что искажающие функции являются периодическими в частотной области. Ограничения на полосу пропускания функции и, следовательно, на ее искажения, можно налагать в произвольных частотных пределах. Такими пределами логично было бы выбрать частоты, на которых спектральная амплитуда сигнала спадает до половины значения, принимаемого на средней частоте спектра. Однако связанная с этим ошибка будет зависеть от скорости спадания амплитуды спектральной характеристики или от количества энергии, заключенной в отбрасываемой спектральной области (аналогичное рассмотрение сложных функций с временными искажениями, применительно к импульсным радиолокационным сигналам, приводит к ограниченным по времени функциям, так что эта ошибка не имеет большого значения при анализе искажений во временной области). Путем надлежащего выбора на оси частот опорных точек при разложении Фурье и введения допущения о характере поведения искажающей функции за пределами ограниченной области (т. е. нечетное или четное, симметричное ее поведение относительно граничных значений) можно получить разложения Фурье функций, описывающих искажения амплитуды и фазы, в виде, который будет соответствовать соотношениям

(11.3в) и а также, и минимизировать число существенных членов в разложении.

В случае амплитудных искажений отдельные компоненты искажающей функции будут давать независимые группы парных эхо. Однако при фазовых искажениях результирующий эффект заключается в перемножении синусоидальных функций, стоящих в мнимой части экспоненты. В соответствии с выражением (11.10) это приводит к перемножению рядов, состоящих из бесселевых функций. При малых фазовых ошибках (меньших 0,5 рад) можно считать, что воздействие различных составляющих фазовой ошибки по существу независимо. При наличии больших фазовых ошибок возможно появление значительных перекрестных составляющих. В разделе, посвященном модуляционным искажениям, представлены основные методы рассмотрения этой ситуации.

На частном примере использования согласованного фильтра описанный выше аналитический метод может быть обобщен для двух основных случаев, представляющих интерес. Первый из них является следствием того, что характеристика задержки в согласованном фильтре обычно выбирается независимо от какой-либо амплитудной характеристики (см. гл. 12 и 13), так что частоты основных амплитудных и фазовых ошибок могут быть совершенно различными. Этот случай был рассмотрен Либмэном 131, и вытекает непосредственно из описанной выше процедуры, причем схемные искажающие функции теперь определяются соотношениями

Точное выражение выходного сигнала будет аналогичным (11.14), за исключением того, что выражения для эхог обусловленные фазовыми и амплитудными искажениями, смещены по времени на величину первые из них смещены относительно местоположения полезного сигнала, определяемого из условия а вторые — относительно моментов появления парных эхо, определяемых соотношением Снова предполагая, что фазовые искажения малы, получаем результирующее выражение для искаженного выходного сигнала:

Во многих случаях последние четыре члена будут пренебрежимо малыми, при этом следует учитывать только пять первых (основной сигнал плюс четыре эхо). Интересно отметить, что в предыдущем рассмотрении, иллюстрирующем независимость положения парных эхо и их формы от типа используемого сигнала, не было необходимости конкретизировать форму сигнала Этого не требуется и при рассмотрении ошибки временнбй модуляции произвольных сигналов на выходе согласованного фильтра, хотя для ЛЧМ сигнала, обработанного согласованным фильтром, связь между парными эхо, обусловленными модуляционными и схемными искажениями, становится однозначной.

Второй интересный случай также связан с тем, что характеристика задержки в согласованном фильтре выбирается отдельно от амплитудной характеристики системы. Вследствие этого нет причин полагать, что фазовые ошибки имеют вид синусоиды, задаваемой соотношением (11.36). Более общее выражение для синусоидальной фазовой ошибки будет включать в себя произвольную фазовую постоянную [41, так что

Записывая напряжение на входе искажающего фильтра в виде сигнала промежуточной частоты, т. е.

где означает огибающую сигнала на выходе согласованного фильтра, можно определить влияние фазовой постоянной В этом случае искаженный по фазе выходной сигнал можно представить в комплексном виде

Разложение по бесселевым функциям (11.10) теперь будет содержать мнимые экспоненциальные члены

Используя это разложение, получаем выражение для искаженного по фазе выходного сигнала, которое эквивалентно разложению (11.11):

Отсюда нетрудно заметить, что фазовая постоянная переносится в выражение для несущей частоты парных эхо в виде фазовых постоянных В зависимости от величин совокупность перекрывающихся полезных сигналов и сигналов, порождаемых искажениями, может приводить к эффектам несимметричного (относительно ) ослабления и усиления сигналов. Вследствие аналогии модуляционных и схемных искажений для ЛЧМ сигнала, показанные на рис. 11.12-11.17 формы сигналов, получающиеся при модуляционных искажениях, можно рассматривать как типичные примеры влияния схемных искажений на произвольный выходной сигнал согласованного фильтра, поскольку было показано, что внешнее проявление схемных искажений не зависит от вида используемого сигнала.

Рис. 11.3. Зависимость амплитуды первого парного эхо от величины амплитудных и фазовых искажений.

В тех случаях, когда для системы, использующей согласованный фильтр, требуемый уровень боковых лепестков по дальности и схема частотного взвешивания уже определены, парные эхо должны быть не выше, а еще лучше, по крайней мере на 3 дб ниже уровня боковых лепестков по дальности. Это условие устанавливает допустимый уровень искажений в системе. На рис. 11.3 построен график амплитуд парных эхо в децибелах, нормированных к максимальному значению неискаженного сигнала, в зависимости от величины амплитудных и фазовых искажений. Нетрудно заметить, что когда уровень парных эхо составляет —30 дб относительно уровня полезного сигнала или еще ниже, тогда имеют место лишь незначительные искажения.

Тот факт, что парные эхо могут налагать серьезные ограничения на динамический диапазон станции вблизи принятого сильного сигнала, иллюстрируется на рис. 11.4, а и б, которые позаимствованы из фундаментальной работы по анализу искажений, выполненной Дифранко и Рубином [51. Для идеальных прямоугольных импульсов здесь показано влияние парных эхо, обусловленных амплитудными и фазовыми искажениями передаточных функций цепей, которые обычно используются в приемных системах. Ширина спектра сигнала по уровню 3 дб отмечена на рисунке интервалом а в графе «передаточные функции» приведены их значения по уровню 3 дб . Полоса приемника, которая значительно шире спектра сигнала, является чем-то необычным, особенно для систем, использующих согласованный фильтр, у которых такой элемент, как схема снижения уровня боковых лепестков за счет изменения формы полосы пропускания определяет эффективный сигнал и шумовую полосу системы. Для того чтобы устранить сигналы, обусловленные искажениями, необходимо применять амплитудную и фазовую коррекцию или компенсацию с использованием трансверсального фильтра. Кроме того, возможно окажется необходимым прибегнуть к другому методу проектирования передаточной функции приемника.