7.2. Спектральные характеристики, обеспечивающие необходимые свойства сложных сигналов

Если при определении свойств интересующих нас сигналов исходить из оптимального распределения амплитудного спектра, то, естественно, следует обратить внимание на связанную с этой проблемой задачу формирования одномерной диаграммы направленности антенны. Конечной целью формирования диаграммы является уменьшение пространственных боковых лепестков в дальней зоне при минимальных расширениях луча и уменьшении коэффициента направленности антенны. Это аналогично достижению минимального временного расширения импульса и ухудшения отношения сигнал/шум при максимальном уменьшении боковых лепестков по дальности для сигналов на выходе согласованного фильтра. Для непрерывной антенны конечных размеров длины много больше длины волны излучаемого сигнала), в которой распределение токов задается функцией интенсивность электрического поля в дальней зоне как функция угла задается интегралом Фурье

Соотношение (7.3) описывает сигнал на выходе согласованного фильтра в виде

При соответствующем выборе переменных приведенные выше соотношения оказываются эквивалентными, так что квадрат модуля спектра, определяемый функцией

где известная функция распределения по апертуре антенны, при которой обеспечивается требуемая диаграмма излучения, будет воздействовать на выходной сигнал согласованного фильтра. Амплитуда сигнала зависит от времени подобно тому, как интенсивность излучения зависит от

Рис. 7.3. Сравнение пространственных параметров антенны и сигналов на выходе согласованного фильтра в зависимости от времени.

Эти соотношения иллюстрируются рис. 7.3. Многие из возможных функций уже известны в теории антенн, некоторые же из наиболее полезных функций еще раз рассматриваются в настоящем разделе. В качестве основы для описания и сравнения между собой различных сигналов будет использоваться идеализированный прямоугольный спектр и соответствующий сигнал Во многих задачах предполагается, что спектральные распределения, которые соответствуют сложным ЧМ сигналам, являются, по существу, гладкими функциями без пульсаций. На практике это последнее условие часто не выполняется. Влияние его на действительное поведение боковых лепестков сигналов на выходе согласованного фильтра будет рассмотрено в следующем разделе. Для идеальной системы с согласованными фильтрами выражение (7.5) будет справедливо и распределение спектра передаваемого сигнала можно записать

Это же самое соотношение описывает амплитудный отклик согласованного фильтра приемника Для случая

соотношение, эквивалентное (7.5), имеет вид

При этом мы имеем несогласованный амплитудный отклик, и в результате происходит ухудшение отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра по сравнению со случаем идеального согласованного фильтра. Однако такой подход может быть полезным в целях уменьшения боковых лепестков, если определяемое равенством (7.6), трудно воспроизводить или если это амплитудное распределение указывает на согласованный фильтр, который имеет нежелательные свойства при изменении параметров сигнала, поступающего на его вход. В качестве примера укажем на повышение уровня боковых лепестков выходных сигналов согласованного фильтра для некоторых нелинейных функций ЧМ при допплеровском сдвиге частоты. Для интересующего нас распределение спектра определяет отклик приемника и в предельном случае прямоугольного спектра Сделаем основное предположение, что любое преднамеренное рассогласование касается только спектрального распределения и амплитудного отклика приемника и что фазовая передаточная функция приемника и фазовый спектр остаются сопряженными функциями, как рассматривалось в гл. 1.

В качестве основной процедуры будем использовать определение функции необходимой для получения искомой временнбй зависимости выходного сигнала от времени с помощью преобразования Фурье

Соответствующие методы уже были разработаны для синтеза наперед заданных диаграмм излучения антенны. Приходится, однако, использовать более специфические методы, когда конечной целью является получение наименьшей ширины луча (или длительности импульса) при заданном уровне боковых лепестков.

Распределение Дольфа — Чебышева

Решение задачи по определению распределения поля в раскрыве антенны, когда формируется наиболее узкий луч при заданном уровне боковых лепестков, было получено Дольфом для случая равномерно расположенных синфазных точечных источников, функционирующих как решетка больших размеров. Используя для определения диаграммы направленности излучения полиномы Чебышева, Дольф определил оптимальную диаграмму антенны, взяв в качестве критерия минимум ширины луча при заданном уровне боковых лепестков. Полученная диаграмма антенны характеризовалась тем, что все боковые лепестки имели равные амплитуды. Когда число элементов в антенне с распределением Дольфа — Чебышева возрастало, плотность тока в крайних элементах становилась очень большой, стремясь к бесконечности для непрерывной

антенны. Пример распределения Дольфа — Чебышева приведен на рис. 7.4. Функция распределения для предельного случая непрерывного распределения была получена ван дер Маасом [2]; она имеет вид

функция единичного скачка; дельта-функция Дирака; модифицированная бесселева функция первого рода первого порядка и эквивалентно центральной частоте спектра на промежуточной частоте.

Рис. 7.4. Пример непрерывного дольф-чебышевского распределения.

Рассматривая функцию Дольфа — Чебышева как спектральное распределение выходного сигнала согласованного фильтра и выполнив преобразование в частотную область, получаем выходной сигнал в виде

Коэффициент А определяется заданным уровнем боковых лепестков по следующей формуле:

Сигнал, описываемый равенством (7.10), имеет постоянный уровень боковых лепестков на всем протяжении оси времени, как показано на рис. 7.5. Клаудер и др. [31, а также Темеш [4] указали на

физическую нереализуемость сигнала с такой структурой боковых лепестков, так как энергия здесь становится бесконечной. По существу, такой результат следует из физической нереализуемости самой непрерывной функции Дольфа-Чебышева так как для этого необходимо иметь бесконечное усиление на краях спектральной полосы.

Рис. 7.5. (см. скан) Сравнение дольф-чебышевского и тейлоровского сигналов.

При практическом применении систем сжатия импульсов с помощью согласованных фильтров характеристики дольфа-чебышевского сигнала используются как стандарт, с которым сравниваются результаты других методов, используемых для получения реализуемой аппроксимации функции Дольфа.

Распределение Тейлора

Аппроксимация распределения Дольфа-Чебышева, полученная Тейлором 15], имеет вид

где

Параметр А определяется равенством (7.11). Число членов, используемых при аппроксимации Тейлора, зависит от требуемой близости к оптимальной, но нереализуемой функции Когда уровень боковых лепестков задан (тем самым определен коэффициент А) и выбрано число членов, используемое в равенстве (7.12), дополнительное расширение импульса по сравнению с функцией Дольфа — Чебышева записывается

Неравенство (7.13) устанавливает, что для получения более низкого уровня боковых лепестков число членов в разложении (7.12) должно быть увеличено настолько, чтобы сохранить величину дополнительного расширения близкой к единице.

Сигнал на выходе согласованного фильтра при тейлоровской весовой обработке задается соотношением

которое представляет собой сумму сдвинутых по времени функций умноженных на весовые коэффициенты Представление сигнала в такой форме приводит к заключению, что тейлоровская частотная функция, так же как и другие функции отклика, может быть синтезирована с помощью многоотводной линии задержки. Этот метод известен как трансверсальная фильтрация; он рассматривается в разд. 7.8. Для тейлоровского сигнала характерен постоянный уровень боковых лепестков в окрестности главного максимума или сжатого импульса. Коэффициент определяет протяженность интервала, в котором это свойство сохраняется. Вне этого интервала уровень боковых лепестков уменьшается.

Из неравенства (7.13) можно заметить, что определяет также и коэффициент дополнительного расширения импульса

Чем выше тем больше область постоянства уровня боковых лепестков и тем меньше коэффициент расширения импульса. Если, однако, становится слишком большим, то тейлоровская функция отклика начинает проявлять некоторые черты, свойственные дольф-чебышевскому отклику.

Рис. 7.6. (см. скан) Весовые функции и вид сигналов при весовой обработке по Тейлору: а — тейлоровские частотные весовые функции; форма спектра и вид сигнала при уровень боковых лепестков —25 дб; -форма спектра ивнд сигнала при уровень боковых лепестков равен —20 дб.

Так, для больших функция отклика имеет пики на краях полосы, так же как и в ее центре. Для малых значений величина имеет максимум на центральной частоте распределения и минимум на краях полосы при монотонно убывающем характере функции по мере удаления от центральной частоты к краям полосы. Этот последний вид функции отклика предпочтителен с точки зрения попыток синтезировать частотную характеристику приемника для получения спектрального

распределения Тейлора. Однако для любого заданного уровня боковых лепестков существует минимальное значение которое должно быть использовано для получения результатов, определенных Тейлором. В качестве примера укажем, что если заданный уровень боковых лепестков на 25 дб ниже пикового значения сигнала, то минимальное значение а если боковые лепестки на 40 дб ниже пикового уровня, то необходимое значение

На рис. 7.5 приведены результаты сравнения тейлоровской и дольф-чебышевской временных весовых функций для уровня боковых лепестков —40 дб и На рис. 7.6 приведены некоторые типичные функции распределения Тейлора для различных значений уровня боковых лепестков и величин Коэффициент относительного расширения импульсов по сравнению с шириной импульса (прямоугольный спектр ширины для функции Тейлора и для функции Дольфа-Чебышева в зависимости от заданного уровня боковых лепестков показан на рис. 7.15. Более подробное рассмотрение этого вопроса можно найти в оригинальной работе Тейлора.

Модифицированные функции Тейлора — весовая обработка Хэмминга

Тейлоровские функции, показанные на рис. 7.5, получены путем сложения взвешенной суммы косинусов с постоянной (или с пьедесталом). Реализация функций, аппроксимирующих эти зависимости с помощью фильтров или амплитудной модуляции во времени, может представлять значительные трудности. Несколько более простое выражение можно получить, опустив некоторые члены более высоких порядков в выражении (7.12), для которых значение коэффициента очень мало. При реализации этого серьезного влияния на вид сигнала (7.14) не отмечается. В качестве примера рассмотрим случай, когда в разложении сохраняется только первый член. Тогда усеченная функция Тейлора примет вид

Для равном 6 при уровне боковых лепестков минус 40 дб усеченная функция Тейлора запишется

При этой конкретной функции отклика уровень боковых лепестков составит минус 40 дб, а ширина импульса будет лишь незначительно превышать ширину для точной тейлоровской функции на уровне —3 дб.

Равенство (7.16) описывает более гладкую функцию, так что аппроксимировать ее с помощью каких-либо методов частотного

или временнбго взвешивания оказывается проще. Нормализуя это равенство для получения единичной амплитуды при и применяя стандартные тригонометрические тождества, получаем

Итак, мы получили косинус-квадратную весовую функцию с пьедесталом. Хорошо известна весовая функция Хэмминга [41, которая близка к этой функции и определяется соотношением

Характеристики временнбй функции, соответствующей весовой функции Хэмминга, обеспечивают пиковый уровень боковых лепестков —42,8 дб и ширину импульса на уровне 3 дб, равную 1,47, в то время как ширина тейлоровского импульса на уровне 3 дб составляет 1,41 при уровне боковых лепестков —40 дб (ширина импульса, соответствующая прямоугольному спектру шириной принята в качестве эталона ширины импульса и равна 1,0).

Формулы (7.17) и (7.18) можно рассматривать как частные случаи более общей весовой функции, которая определяется как

Эта функция представляет собой косинус-квадратный отклик, взвешенный множителем и расположенный на пьедестале высоты где Ширина импульса и уровень боковых лепестков по дальности, соответствующие этой весовой спектральной функции, изменяются в зависимости от высоты пьедестала. Хэмминговское взвешивание обеспечивает наименьший уровень боковых лепестков для этого класса функций. Сравнительные данные о весовых функциях, рассмотренных в настоящей главе, приведены в разд. 7.5, где показано, что величина пьедестала весовой функции может оказывать очень сильное влияние на выходной сигнал согласованного фильтра. Отсюда следует, что формирование тейлоровской или хэмминговской спектральных весовых функций для получения боковых лепестков по дальности —40 дб требует строгого контроля параметров весовых функций.

Весовая функция общего вида — функция косинуса в различной степени

Формула (7.19) дает возможность ввести весовую функцию еще более общего вида, которая определяется как

Если есть целое число, то эта функция включает в себя весовые функции степени косинуса, которые уже рассматривались в теории

антенн [6]. Функция временнбго отклика для такого класса функций спектрального отклика задается соотношением

Были также проведены вычисления и для нецелых при значениях от 1,8 до 2,2 и при различных величинах для того, чтобы оценить воздействие ошибок в задании хэмминговской функции отклика. Эти данные позволяют также приближенно оценить влйяние ошибок параметров для тейлоровской весовой функции при уровне боковых лепестков —40 дб.