8.3. Бинарные фазовые коды (группа II)

Общее представление для бинарных фазовых кодов можно получить из соотношения (8.1), положив и опустив Оно имеет вид

где Для удобства в последующем рассмотрении использован коэффициент равный

Так как то можно заметить, что

Бинарные последовательности оказываются таким образом взаимозаменяемыми. Бывают случаи, особенно при исследовании свойств этих последовательностей, когда бинарную фазовую кодовую последовательность удобнее представлять в виде

Существуют, таким образом, три различные пары элементов, с помощью которых можно представить бинарную фазовую последовательность. Они приведены в нижеследующей таблице

В соответствии с этой таблицей бинарных элементов можно определить два вида арифметических правил. Один из них основан на использовании элементов и определяется следующей таблицей перемножения:

Другой вид арифметических правил определен для элементов и характеризуется следующей матрицей сложения по модулю 2:

Типичная бинарная фазовая последовательность заданная, например, через элементы имеет вид

На рис. 8.14, а и б показаны видеосигнал и синусоидальный сигнал, соответствующие последовательности (8.27). Отметим, что несущая на рис. 8.14, б непрерывна в точках инверсии фазы. Однако эта непрерывность сохраняется только из-за того, что в данном примере использовано соотношение выбранное только для удобства.

Рис. 8.14. Сигналы, построенные на основе бинарных кодов: а — модулированный по амплитуде видеосигнал; б - высокочастотный сигнал с фазовой модуляцией, соответствующий видеосигналу а.

Как правило, где целый множитель Следовательно, так как несущая всегда когерентна, то тонкая структура в общем случае в точках инверсии фазы будет разрывной.

Общее описание функции отклика для бинарных фазовых кодов, полученных из соотношения (8.3), имеет вид

Это выражение, за исключением замены коэффициентов на было рассмотрено нами в связи с нерегулярными импульсными последовательностями в предыдущем разделе. Можно заметить, что для

и если

Функцию (8.30) удобно оценивать с помощью алгоритма Бернфельда [7, 8]. Он дает конструктивный метод вычисления произведения с помощью сложения элементов последовательности и обратной к ней (или зеркальное отображение) последовательности Возьмем, например, последовательность задаваемую (8.27), и, положив для удобства получим в следующем виде:

Этот метод полезен не только для бинарных последовательностей, но и в более общем случае, когда являются комплексными числами. Очевидно, что непосредственно определяется через Функция (8.30), выраженная через при может быть представлена следующим образом:

где символ означает сложение по модулю 2 (доказательство этого оставим в качестве самостоятельного упражнения для

читателя). Основное свойство можно получить, представив последовательность в следующем виде [8]:

где

Предположим, например, что тогда

Если в функции (8.30) заменить то в результате получим

где

Мы видим, что всегда положительна, всегда отрицательна. Образуем далее сумму, входящую в функцию (8.30), заменяя на Это приводит к следующему свойству:

или

и

где Функция получается в том случае, если не происходит инверсии знака в последовательности

Последовательности Баркера

Это семейство бинарных последовательностей характеризуется соотношением

Так же, как и оптимальные нерегулярные последовательности, последовательности этой группы обладают свойством Поэтому они также называются оптимальными. Однако число последовательностей в этом семействе ограничено, так же как и число оптимальных нерегулярных последовательностей.

Существуют всего девять таких последовательностей Баркера. Они приведены в табл. 8.1. Сторер и Турин [10] показали, что хотя не имеется последовательности Баркера нечетной длины, превосходящей 13, однако эта проблема остаётся нерешенной для кодов четной длины.

Таблица 8.1 (см. скан)

Было высказано предположение, что не существует последовательности Баркера четной длины большей Это предположение подкрепляется тем фактом, что не было найдено ни одной последовательности для в интервале Если последовательность четной длины и существует, то она должна быть полным квадратом. Это условие получается из тождества [11]:

с учетом того, что для кодов четной длины Необходимо также напомнить, что В дополнение к тождеству (8.40), можно показать, что когда нечетно, четно, то боковые лепестки всегда положительны нечетно и четно, то боковые лепестки всегда отрицательны

Эти свойства отражены в таблице последовательностей Баркера. Элементы последовательностей Баркера нечетной длины связаны между собой следующей рекуррентной формулой:

Кроме того, было показано, что для нечетных

Наконец, было замечено, что когда нечетно, четно, то разность между числом знаков плюс и минус равна Если же нечетко нечетно, эта разность равна единице.

Рис. 8.15. Сигнал, соответствующий коду Баркера длиной 13 элементов, и поверхность отклика: сигнал на входе согласованного фильтра; б - автокорреляционная функция на выходе согласованного фильтра; в — поверхность отклика.

На рис. 8.15 — 8.17 показаны различные полные характеристики функций неопределенности для последовательностей Баркера при Модуль спектра последовательности Баркера длиной 13 показан на рис. 8.17. Можно заметить, что структура функции неопределенности для имеет некоторое сходство со структурой профилей сигнала с V-образной ЧМ. Это было также отмечено и для

Последовательности максимальной длины

Последовательности максимальной длины (или -последовательности) образуют другой важный класс бинарных

последовательностей, которые могут быть использованы для фазового кодирования [2, 12—14]. Эти последовательности образуются с помощью рекуррентных формул, которые выбираются таким образом, чтобы обеспечить генерирование максимального числа элементов последовательности, равного прежде чем последовательность циклически повторится.

Рис. 8.16. (см. скан) Функция отклика согласованного фильтра

для сигналов на основе кодов Баркера: а — функция отклика для бишриого фазового кода Баркера, 11; б - функция отклика для бинарного фазового кода Баркера,

В общем случае, когда эти последовательности записываются через элементы » то для каждый элемент является суммой по модулю 2 определенных

(кликните для просмотра скана)

ментов, выбранных из предыдущих элементов. Эта формула имеет вид

где коэффициенты а равны либо нулю либо единице. Вторая возможная форма записи через элементы приводящая к эквивалентной последовательности, задается соотношением

где показатели степени а у те же самые, что и коэффициенты в формуле (8.43).

Первые элементов данных последовательностей, исключая последовательность, состоящую только из нулей (или знаков плюс), выбираются произвольным образом. Эти элементов образуют базис для одной из фаз, которая может быть получена для заданной последовательности а. Не все последовательности а, однако, приводят к последовательности максимальной длины для элементов Условия для получения таких последовательностей можно найти в нескольких работах [15—17], которые рекомендуются для дальнейшего изучения.

Рис. 8.18. Каноническая схема регистра сдвига.

Обширный список неприводимых и примитивных полиномов, эквивалентных последовательностям а, приведен в работе Питерсона [17].

Рекуррентная формула (8.43) оказывается особенно удобной для реализации с помощью регистра сдвига. Каноническая схема построения такого регистра показана на рис. 8.18. Она состоит из трех основных элементов: 1) последовательно включенных элементов задержки с единственным входом и единственным выходом, обозначенных через (оператор, введенный Хаффманом [18]; 2) переключателей обратной связи, обозначаемых через а, (элементы последовательности сумматоров по модулю 2. Такая схема обычно синхронизируется с помощью (равномерно расположенных) синхроимпульсов. Для формирования каждого последующего

импульса хранящийся (накопленный) в элементе задержки импульс сдвигается на один элемент вправо и вычисленное значение заносится в первый элемент задержки. Математическое описание регистра сдвига обычно представляется в виде полинома по степеням оператора единичной задержки

Рис. 8.19. (см. скан) Последовательные состояния регистра сдвига максимальной длины для

Для того чтобы получить максимальную длину последовательности прежде чем закончится цикл регистра сдвига, этот полином должен быть неприводимым (неразложимым на множители) и примитивным (является делителем только при Примером его может служить полином

где через обозначена величина Элементы последовательности а, соответствующей полиному (8.45), равны Выбирая начальное состояние регистра сдвига в виде найдем, что последовательность максимальной длины, получаемая при выбранной схеме построения регистра сдвига в соответствии с (8.45), равна (рис. 8.19)

где Другие фазы последовательности, определяемой (8.46), могут быть получены, если исходить из различных наборов трех начальных элементов (за исключением трех нулей). Остается шесть таких наборов: .

Рис. 8.20. График полученной экспериментально автокорреляционной функции периодического псевдослучайного бинарного фазового кода.

Периодическая структура в виде (8.46) и соответствующие ей полиномы были достаточно подробно изучены в работах 115—171. Одним из важных результатов этого изучения явилось установление свойства, что

где использовано здесь для обозначения наивысшей степени полинома Это свойство аналогично результату, полученному для последовательностей Баркера. Однако в противоположность последовательностям Баркера, которые состоят из конечного числа элементов, для справедливости соотношения (8.47) структура последовательности максимальной длины должна быть периодической. Экспериментальная оценка для иллюстрируется графиком, приведенным на рис. 8.20.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Периодические последовательности максимальной длины нашли применение в радиолокаторах с высоким разрешением 112—141. Такой тип функционирования эквивалентен радиолокационным системам с непрерывным излучением и поэтому имеет ограничения дальности, если только не обеспечена достаточная развязка передатчика относительно приемника. Для многих радиолокационных задач последовательности конечной длины более предпочтительны, так как при этом удается избежать проблем, связанных с непрерывностью излучения. Кроме того, при этом нет необходимости связывать максимальную дальность радиолокатора с интервалом времени характеризующим интервал неоднозначности периодической последовательности максимальной длины. Примеры функций последовательностей максимальной длины, которые ограничены одним периодом, показаны на рис. 8.21 и 8.22 для и . Эти графики показывают, как структура боковых лепестков зависитот фазы этих усеченных последовательностей максимальной длины. Кроме того, на рис. 8.23 приведена функция отклика соответствующая и . Для больших отношение пикового значения к боковому лепестку усеченной последовательности максимальной длины приближенно равно