6.2. Согласованная фильтрация ЛЧМ сигнала

При обсуждении принципа согласованной фильтрации в гл. 1 было рассмотрено два основных подхода к определению характеристик согласованного фильтра:

а) Если спектр сигнала равен то частотная функция передачи фильтра которая максимизирует отношение сигнал/шум на выходе фильтра, представляет собой функцию, комплексно-сопряженную со спектром сигнала, или

б) Если вид сигнала задается функцией то импульсный отклик фильтра, удовлетворяющего условию а), равен и вид сигнала на выходе фильтра можно найти с помощью операции

Подход а) имеет значение при установлении свойств согласованного фильтра, тогда как подход б) полезен в случае определения вида сигнала на выходе согласованного фильтра.

При радиолокационных применениях удобно предположить, что огибающая представляет собой постоянную по высоте прямоугольную функцию. В этих условиях сигнал, формируемый в передатчике радиолокатора, выражается как [1]

Импульсный отклик фильтра, согласованного с этим сигналом, равен

Если наложить условие, что коэффициент усиления согласованного фильтра на частоте равен единице, то коэффициент составляет

и сигнал на выходе согласованного фильтра имеет вид

Интегральное выражение (6.5) описывает оптимальный выходной сигнал на выходе согласованного фильтра в смысле максимизации отношения сигнал/шум. В реальных условиях сигнал, поступающий на вход радиолокационного приемника, не является точной копией переданного сигнала, так как может быть подвержен различного рода искажениям. Наиболее общая форма искажений наблюдается в том случае, если сигнал отражается от объектов, скорость перемещения которых имеет радиальную компоненту по отношению к радиолокационной системе. Это приводит к допплеровскому

сдвигу центральной частоты отраженного сигнала, который можно представить в виде

где радиальная скорость; с — скорость света и Будем предполагать, что такое представление допплеровского сдвига полностью описывает искажение. ЛЧМ сигнала вследствие движения цели. При этом мы игнорируем некоторые эффекты второго порядка, однако это представление является очень хорошей аппроксимацией произведения длительности на полосу или коэффициента сжатия вплоть до значений 10 000. Применяя введенное приближение, запишем сигнал на выходе согласованного фильтра

где

Когда то «согласованы» и есть автокорреляционная функция входного сигнала. Если же то будет взаимной корреляцией двух функций, представляющей все возможные выходные сигналы согласованного фильтра при движении отражающего объекта. Используя тригонометрическое разложение произведения и замечая, что при подстановке его в выражение (6.7) слагаемые, содержащие высокочастотные компоненты частоты могут быть опущены для большинства практически интересных случаев, перепишем выражение для сигнала на выходе согласованного фильтра в виде

Оценивая выражение (6.9) для получаем следующее выражение:

Если прибавить и вычесть в аргументе первого члена, то получим

Это выражение имеет форму

где

Аналогичное выражение получается для Комбинируя эти результаты, запишем сигнал на выходе согласованного фильтра

Для частного случая равенство (6.12) сводится к определению автокорреляционной функции согласованного фильтра:

Интересно отметить, что частотный сдвиг выходного сигнала равен при сдвиге частоты входного сигнала Это можно отнести за счет существенно прямоугольной частотной характеристики согласованного фильтра (как показано в следующем разделе), которая определяет центральную частоту выходного спектра (рис. 6.1). На рис. 6.2 и 6.3 приведено несколько примеров

(кликните для просмотра скана)

выходных сигналов согласованного фильтра, которые показывают влияние коэффициента сжатия на вид автокорреляционной функции и на величину искажений, вызванных допплеровским сдвигом. Искажения проявляются во временном сдвиге сигнала, уменьшении пиковой амплитуды и расширении импульса.

Рис. 6.4. Рассчитанный вид поверхности отклика для ЛЧМ сигнала.

Для хорошее приближенное выражение для величины временного сдвига дает формула

На рис. 6.4 показана трехмерная модель (которая будет обсуждена ниже), иллюстрирующая влияние допплеровского сдвига на выходной сигнал, а на рис. 6.5 приведена зависимость временного сдвига и величины снижения амплитуды от или

Рис. 6.5. Характеристики выходного сигнала для фильтра, согласованного с ЛЧМ сигналом.

Можно заметить, что выходные сигналы согласованного фильтра при допплеровском сдвиге ограничены треугольником с основанием, занимающим отрезок от до Эта функция

является автокорреляционной функцией прямоугольной огибающей сигнала на входе согласованного фильтра, а замеченное соотношение есть одно из свойств ЛЧМ сигнала. Можно показать, что для общего вида огибающей сигналов выходные сигналы согласованного фильтра ограничены автокорреляционной функцией Для огибающей, имеющей значения до выходной сигнал идеального согласованного фильтра равен нулю для моментов времени для

Во многих задачах ожидаемый диапазон допплеровских сдвигов составляет очень малую долю ширины полосы сигнала. В этом случае ухудшение пиковой амплитуды выходного сигнала согласованного фильтра весьма незначительно. Таким образом, при малых допплеровских сдвигах наблюдается лишь небольшое ухудшение характеристик обнаружения ЛЧМ сигналов. Равенство (6.12) определяет так называемую функцию отклика ЛЧМ сигнала. Функция отклика была введена в гл. 3 для описания характеристик согласованного фильтра при наличии донплеровского сдвига частоты входного сигнала.

На рис. 6.4 показана эта функция для ЛЧМ сигнала в виде сложной составной трехмерной модели, характеризующей выходной сигнал при наличии допплеровского сдвига. Форма «гребневой линии» этой функции характеризует «неопределенность» при приеме только одного импульса без априорной информации о дальности цели и ее скорости. Каждое сечение модели функции отклика представляет собой выходной сигнал согласованного фильтра для последовательно возрастающих значений причем любое сечение смещено по частоте на 10% полосы сигнала, а центральное сечение (т. е. ) представляет автокорреляционную функцию.

Более подробно применение функции отклика или функции неопределенности, которую можно рассматривать в качестве одного из нескольких критериев принятия решения о ценности того или иного конкретного сигнала, было рассмотрено в гл. 4.