11.8. Оценки потерь в разрешающей способности при случайных фазовых ошибках

На основании выражений (11.49) и (11.50) можно определить положение максимальной верхней и средней границ по дальности и частоте искажающих боковых лепестков на выходе согласованного фильтра. При этом предполагается, что основные компоненты Фурье искажающих функций известны. Когда искажения являются произвольными или случайными функциями, тогда затруднительно получить меру протяженности отклика, т. е. функции неопределенности в области, окружающей центральный пик неопределенности. Браун и Палермо рассмотрели две основные оценки потерь в разрешающей способности в результате влияния случайных фазовых ошибок 19, 101. Одна такая оценка основывается на моменте второго порядка или радиусе инерции искаженной функции неопределенности. При наличии случайной ошибки в функции фазовой модуляции, искаженная функция отклика [на основании выражения (3.83)] определяется соотношением

Браун и Палермо показывают, что оценка потерь в разрешающей способности, основанная на радиусе инерции функции аппроксимируется выражением

Первый член соотношения (11.52) представляет собой момент второго порядка (или эквивалентную полуширину в квадрате) неискаженной функции неопределенности в направлении оси Второй член есть дисперсия или средний квадрат ошибки по частоте для функции частотной модуляции, связанной с ошибкой фазовой модуляции т. е.

где математическое ожидание величины у.

Обычно предполагается, что так что

В выражении (11.52) влияние сдвига среднего положения искаженной функции неопределенности не учитывается. Обычно оно равно нулю для большинства распределений случайных ошибок функции модуляции, у которых Для каждой выборочной функции из ансамбля. При законах распределения ошибок, для которых условие выполняется только по совокупности выборок, средняя ошибка положения будет стремиться к нулю, если распределение спектра окажется относительно широким. Ошибки в положении на выходе согласованного фильтра обычно обусловлены ее низкочастотными компонентами. Возможно, что для функции модуляции фазы имеет место случайное распределение низкочастотных ошибок, для которых условие выполняется на протяженном временнбм интервале, но не на длительности каждого зондирующего импульса. Это будет приводить к смещению положения сигнала на выходе согласованного фильтра от импульса к импульсу относительно среднего положения, тогда как случайные фазовые ошибки, имеющие широкий спектр для каждого принятого импульса, будут приводить к размазыванию сигнала на выходе согласованного фильтра.

При наличии случайной фазовой ошибки в согласованном фильтре и при условии выражение для протяженности функции неопределенности аппроксимируется следующим соотношением:

где средний квадрат ошибки задержки. Выражения (11.52) и (11.54) представляют дисперсию, так что разброс функции неопределенности в направлении оси частот равен и в направлении временнбй оси Используя выражения (11.52) и (11.54) для любых значений смещения по дальности и скорости можно получить соответствующие величины

Другая оценка потерь в разрешающей способности, основанная на рассмотренных в гл. 4 постоянных разрешения по времени и частоте Вудворда, эквивалентна прямоугольнику разрешения по дальности, определяемому уравнением

где — искаженный сигнал на выходе согласованного фильтра.

Как показано на рис. 11.20, это определение основывается на приравнивании энергии эквивалентного прямоугольного импульса энергии сигнала На практике для большинства типов РЛС,

использующих согласованный фильтр, предположение о случайности искажающих ошибок не является реалистичным 1. Раз уж конкретная РЛС, использующая согласованный фильтр, построена, то, по-видимому, более соответствует реальности предположение, что присущие ей искажения являются детерминированными и их характеристики можно измерить. Используя это допущение, Ченг определил верхнюю границу эквивалентного прямоугольника разрешения для сложных функций фазовых ошибок [11]. Ниже описывается этот метод.

Рис. 11.20. Эквивалентный прямоугольник разрешения.

Рис. 11.21. Произвольная функция фазовых искажений в согласованном фильтре.

На рис. 11.21 изображена сложная функция, описывающая фазовые ошибки. Максимальное значение величины относительно значения опорной фазы, равной нулю, составляет рад. Искаженный сигнал на выходе согласованного фильтра описывается соотношением

где спектр зондирующего сигнала. Применяя теорему Парсеваля, получаем выражение для энергии сигнала

Отсюда вытекает, что в действительности фазовые искажения не изменяют энергию сигнала, а лишь влияют на ее распределение во времени. Максимальное значение функции получается из выражения (11.56) при т. е.

Если фазовые ошибки малы, то можно приближенно записать

и тогда выражение (11.58) преобразуется к виду

Замечая, что и применяя к интегралам теорему о среднем, получаем

Кроме того,

и поэтому

Подставляя (11.57) и (11.63) в выражение (11.55), приходим к полученному Ченгом результату

Неравенство (11.64) дает верхнюю границу эквивалентного прямоугольника разрешения, которая имеет наименьшее значение когда Применительно к ЛЧМ сигналу единичной амплитуды, для которого

это соотношение дает

Если для уменьшения уровня боковых лепестков по дальности на ныходе согласованного фильтра используется взвешивающая функция то в приведенных выше соотношениях множитель заменяется на Если для ЛЧМ сигнала используется косинусоидальная функция взвешивания (уровень боковых лепестков при этом равен —23 дб), то в то время как ширина по уровню 3 дб составляет при взвешивании

функцией получается а ширина импульса по уровню Поскольку соотношение

выполняется для любого сигнала на выходе согласованного или определенного выше несогласованного фильтров, выражение

представляет собой универсальную верхнюю границу при наличии фазовых ошибок в согласованном фильтре. На рис. 11.22 графически изображена зависимость (11.67). В случае модуляционных фазовых ошибок аналогичный анализ дает эквивалентное выражение для прямоугольника разрешающей способности по допплеровской частоте, где

и

Определяемые соотношениями (11.64) и (11.66) верхние границы неприменимы к произвольным функциям фазовых ошибок. Например, если рассмотренная выше искажающая функция содержит множество различных высокочастотных составляющих, то искаженный сигнал на выходе согласованного фильтра может иметь вид, показанный на рис. 11.23, а. Если одна из высокочастотных искажающих компонент является доминирующей, то искаженный выходной сигнал может принять форму, изображенную на рис. 11.23, б. В приведенных примерах влияние фазового искажения проявляется в образовании интерферирующих сигналов помехи или в появлении более сильного неоднозначного отклика при отсутствии специфического эффекта размазывания главного отклика согласованного фильтра. Основное влияние искажений в подобных случаях заключается в ухудшении способности обнаруживать более слабые сигналы, а не в потере разрешения сравнительно сильных сигналов. Поэтому применять критерий эквивалентного прямоугольника разрешения следует с осторожностью и, по-видимому, целесообразнее всего тогда, когда искажающие функции состоят из низкочастотных компонент. Однако и здесь необходимо проявлять некоторую осторожность при интерпретации результатов.

Показатель разрешающей способности, определяемый зависимостью (11.67), не изменяется, если для снижения уровня боковых лепестков применяется взвешивание, тогда как из рассмотрения в гл. 6 случая низкочастотных квадратичных фазовых ошибок следовало, что использование взвешивающей функции уменьшает

протяженность искаженного ЛЧМ сигнала на выходе согласованного фильтра. По этим причинам, по-видимому, было бы целесообразно попытаться определить, где это возможно, наиболее важные компоненты искажающих функций с тем, чтобы получить более точную картину влияния конкретной искажающей функции на рассматриваемый выходной сигнал согласованного фильтра и приготовить базис для систематической компенсации искажений в приемнике.

Рис. 11.22. Зависимость верхней границы эквивалентного прямоугольника разрешения от пикового значения фазовой ошибки

Рис. 11.23. Искаженные согласованным фильтром импульсы, для которых эквивалентный прямоугольник разрешения является плохой мерой.

В ряде ситуаций искажения возможно возникают из-за изменяющихся во времени параметров аппаратуры РЛС. Сюда обычно входят флюктуации напряжения питания и непостоянство длительности сигнала в передатчике, а также и в приемнике, если вместо согласованного фильтра используется активный коррелятор. И здесь разработчик может применять с рассудительной осторожностью рассмотренные выше оценки потерь разрешающей способности. Если уровни искажений выше допустимых, то следует подумать о методах активной их компенсации, которые будут рассмотрены в следующем разделе.