3.4. Приложение теории построения сигналов к сложным ЧМ сигналам

Приведенные в этом разделе примеры построения сигналов взяты из работ Фоула [4], Кея [1, 2] и Кука [6]. Они иллюстрируют применение различных соотношений, полученных с помощью метода стационарной фазы для анализа и построения некоторых основных типов сложных сигналов.

Пример 1 [4]

Огибающая сигнала и модуль комплексного спектра определяются гауссовыми функциями, которые задаются соотношениями:

Длительность и ширина спектра для этих функций определяются как интервал между точками для или соответственно. Произведение длительности на полосу частот для этого сигнала равно Огибающая импульса и модуль спектра показаны на рис. 3.6 как огибающая выходного сигнала

согласованного Лнльтра. Этот сигнал представляет собой преобразование Фурье функции (3.47) и имеет вид

Используя уравнение (3.22), получаем

Рис. 3.6. Характеристики сигнала с гауссовой огибающей и гауссовым спектром при его сжатии в согласованном фильтре.

Пусть тогда равенство. (3.49) примет вид

Прира внивая пределы в (3.50), находим

где Применение соотношения (3.26а) дает

и

Аналогично функция частотной модуляции принимает вид

и

Выражения (3.52) и (3.55) показывают, что согласованный фильтр имеет линейную зависимость задержки от частоты и что применяется линейная частотная модуляция сигнала. Амплитудный отклик согласованного фильтра, есть, конечно, гауссова функция, согласованная с (3.47). Фоул сравнил эти результаты с данными, полученными при использовании точного преобразования функции Фурье:

Сравнение показало, что для (один из вариантов определения модуль спектра и фаза, задаваемые соотношениями (3.47) и (3.53), отличаются на доли процента от значений, полученных по точному преобразованию функции по Фурье (3.56). Таким образом для превышающих примерно 10, уравнения (3.46), (3.47), (3.53) и (3.55) могут быть использованы для определения пары преобразований Фурье с большой точностью. Как правило, для сигналов с большими значениями произведения длительности на полосу при определении огибающей импульса и модуля спектра полученная функция описывает линейный закон ЧМ, а функция групповой задержки определяет линейную зависимость задержки от частоты.

Пример 2 [1, 2, 4]

В предыдущем примере были гладкими непрерывными функциями. В данном примере будет прямоугольной функцией, т. е. не гладкой, будет гладкой непрерывной функцией. Они задаются равенствами

Эти функции показаны на рис. 3.7 Автокорреляционная функция выходного сигнала согласованного фильтра, определяемая с помощью преобразования Фурье (3.58), равна

Применение равенства (3.33; дает

Интегрируя (3.60), получаем уравнение

из которого можно найти

Рис. 3.7. Характеристики сигнала при его обработке в согласованном фильтре с обратно тангенциальным законом изменения групповой задержки.

Использование соотношения (3.32) приводит к другой формуле:

и

Функции групповой задержки — показаны на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Два возможных решения для функции групповой задержки в согласованном фильтре с обратно тангенциальным законом изменения задержки.

При рассмотрении его и приведенных равенств можно заметить, что в результате мы получили функции которые являются комплексно-сопряженными, где

Используя полученные ранее соотношения, функцию ЧМ можно определить в виде

и

Кей и др. [2] с помощью численных методов нашли для модуля спектра и фазы, задаваемых равенствами (3.58) и (3.65) для значений равных Они показаны на рис. 3.9. Основываясь на этих данных, можно сделать вывод, что для построения с хорошей точностью пары преобразований Фурье для сигналов, существенные характеристики которых в основном совпадают с приведенными в данном примере, необходимые значения произведения должны быть больше 20 или 30. Этим требованиям удовлетворяет целый класс сложных сигналбв, для которых либо имеют разрывы, в то время как другая функция — гладкая и непрерывная.

Если необходимо, чтобы и имели вид прямоугольных функций, то, как. указывалось при обсуждении сигнала с прямоугольной огибающей в гл. не может быть хорошо аппроксимировано прямоугольным распределением, если только не выполняется неравенство Это можно видеть на примере спектра, показанного на рис. 6.6. Такое поведение вытекает из ограничения, что огибающая и спектр одновременно не могут быть усеченными. Однако для достаточно больших можно с приемлемой точностью считать, что огибающая импульса и спектр одновременно являются усеченными. Отметим, что если желательно иметь прямоугольный спектр для того, чтобы на выходе согласованного фильтра получить функцию то хорошая аппроксимация для этого случая получается при ЛЧМ сигнале со значениями Следовательно, для получения такого сигнала не нужно добиваться очень точной аппроксимации прямоугольного спектра.

Пример 3 [6]

Выходной сигнал согласованного фильтра в обоих предыдущих примерах является гладкой непрерывной функцией, гауссовой или экспоненциальной соответственно. В случае гауссового выходного сжатого сигнала амплитуда сигнала на краях спадает только на —26 дб при Для получения экспоненциального сжатого импульса, который формируется при нелинейной ЧМ в примере 2, необходимо управлять функцией групповой задержки согласованного фильтра в полосе, которая в несколько раз превышает основную полосу Значения на краях сжатого импульса для этого сигнала также спадают довольно медленно по отношению к величине, обратной ширине полосы, необходимой для построения фильтра.

Во многих случаях бывает желательно, чтобы сжатый импульс в зависимости от времени быстро спадал до определенного уровня и затем оставался ниже его. Большинство сигналов, которые попадают в эту категорию, имеют лепестковую структуру, аналогичную боковым лепесткам антенны (т. е. здесь не происходит монотонного убывания амплитуды сигнала на его краях). В общем случае приходится идти на компромисс между скоростью, с которой спадаетамплитуда огибающей сжатого импульса, и допустимым максимальным уровнем боковых лепестков на временной оси. При заданной допустимой ширине полосы, в которой должна быть сконцентрирована групповая задержка согласованного фильтра, наиболее эффективное использование этой полосы при построении сложного ЧМ сигнала обычно может быть достигнуто при сигналах описанного, выше типа. Сигналы одного из таких

(кликните для просмотра скана)

классов имеют прямоугольную огибающую и модуль спектра, задаваемый соотношениями

Используя равенство (3.22) и имея в виду, что длительность огибающей равна читатель может проверить путем прямого интегрирования, что зависимость групповой задержки от частоты имеет следующий вид получена путем оценки в одной из конечных точек):

Это семейство функций групповой задержки изображено на рис. 3.10. По отношению к сигналу прямоугольный спектр которого заполняет интервал ширина сжатого импульса (на уровне —3 дб) для каждого спектра, определяемого равенством (3,68), больше ширины импульса в 1,34 раза при в 1,62 раза при в 1,87 раза при и в 2,09 раза при Можно использовать денормализующий коэффициент для так, чтобы выходные сигналы согласованного фильтра имели равную ширину импульса на уровне —3 дб.

Это показано на рис. 3.11, где денормализация выполнена по отношению к для Кроме того, здесь же приводятся уровни боковых лепестков для сжатого импульса, соответствующего каждому такому спектральному распределению. Отсюда можно видеть, что для достижения малого уровня боковых лепестков на временной оси при приблизительно одинаковых значениях ширины спектра необходимо управлять краевой частью спектра выходного сигнала на значительном интервале вне основной области сосредоточения спектральной энергии. Это в свою очередь означает, что необходимо управлять функцией в том же самом интервале частот.

Для того чтобы уменьшить этот интервал и все еще получать сжатый в согласованном фильтре импульс с низкими боковыми лепестками на временной оси, можно использовать (3.22), чтобы иметь такое которое формирует спектр вида косинус в квадрате с пьедесталом, определяемым соотношением

Эта функция аппроксимирует спектр, взвешенный функцией Тейлора (см. гл. 7) для Групповая задержка, полученная из (3,73), равна

(кликните для просмотра скана)

Тонкая структура функции, определяемой уравнением (3.74), вблизи для аппроксимации Тейлора показана отдельно на вынесенном графике рис. 3.10. Для получается такая же ширина импульса, как и для косинусквадратного спектра при пиковом уровне боковых лепестков —40 дб. Аналитические выражения функции для класса функций групповой задержки, использованных в этом примере, найти оказывается сложно. Наиболее простой метод оценки функции в подобных случаях состоит в применении графических методов.

Рис. 3.12. Растянутый импульс на выходе фильтров с нелинейной и линейной задержкой. Вверху: возбуждающий импульс и сигнал на выходе фильтра с нелинейной задержкой; вннзу: возбуждающий импульс и сигнал на выходе фнльтра с линейной задержкой.

С этой целью оси на рис. 3.10 надо повернуть так, чтобы в качестве независимой переменной вместо времени можно было использовать задержку и взаимно поменять местами положительные и отрицательные значения частоты.

На рис. 3.12 показан импульсный отклик (т. е. несжатый импульс) согласованного фильтра с нелинейным изменением задержки и со спектром который приближенно описывается косинус-квадратным законом. Форма несжатого импульса для согласованного фильтра с линейной групповой задержкой при том же самом входном импульсе значительно больше отличается от прямоугольной, а сжатый импульс имеет более высокий уровень боковых лепестков. Превышение средней амплитуды в каждом конце несжатого импульса при нелинейной ЧМ получается вследствие отклонения от идеального закона задержки согласованного фильтра и амплитудного отклика вблизи границ полосы фильтра.

Пример 4

В примерах 1—3 рассматривались случаи, когда огибающая имеет прямоугольную форму, а есть нелинейная функция ЧМ, или когда амплитудно-модулированная функция, а — линейная функция ЧМ.

Примером сигнала, для которого одновременно огибающая имеет модуляцию по амплитуде и используется нелинейная ЧМ, может служить сигнал вида

Использование соотношения (3.32) дает

Пусть тогда уравнение (3.77) принимает вид

Выполняя интегрирование, получаем

и

Соотношение позволяет найти функцию групповой задержки, показанную на рис. 3.13. Как и в предыдущем примере, проще всего определяется графическим методом. Кривизна этой функции частотной модуляции лежит между кривизной и нелинейной ЧМ, необходимой для получения косинус-квадратного спектра мощности при прямоугольной огибающей импульса.

Побудительным мотивом исследования сигналов с нелинейной ЧМ является желание сформировать спектр сигнала так, чтобы улучшить форму сжатого импульса на выходе согласованного фильтра (автокорреляционную функцию) без ухудшения каких-либо энергетических характеристик системы» которыми она обладает при передаче импульсов с прямоугольной огибающей. Как только удается избежать ухудшения этих характеристик, то уменьшение боковых лепестков по оси времени (или дальности) для автокорреляционной функции согласованного фильтра при таком подходе достигается за счет увеличения уровня боковых лепестков выходного сигнала при наличии частотного сдвига у принимаемого входного сигнала (случай движущегося отражателя). Вследствие этого применение сложных сигналов с нелинейной ЧМ обычно ограничивается случаями, в которых ожидаемый разброс скоростей принимаемых сигналов относительно мал. Такой пример рассмотрен в гл. 7.

Важный итог этого раздела, заключается в том, что, задавшись формой ЧМ сигнала произвольного вида на входе согласованного фильтра, с помощью принципа стационарной фазы можно получить достаточно хорошие приближенные выражения для следующих параметров:

1. , амплитудный спектр сигнала и амплитудный отклик согласованного фильтра.

2. , фазовый спектр и функция, сопряженная фазовому отклику согласованного фильтра.

Рис. 3.13. Функция групповрй задержки для модулированного по амплитуде сигнала с нелинейной ЧМ, который рассмотрен в примере 4.

3. - закон изменения групповой задержки согласованного фильтра, как результат определения

Кроме того, могут быть получены и другие функции, связанные с сигналом на выходе согласованного фильтра. Все это кратко описано в следующем разделе.