1.2. Принцип согласованной фильтрации

Основные принципы согласованной фильтрации были сформулированы в результате исследований, направленных на оптимизацию функционирования радиолокационных систем. По этим углубленным теоретическим представлениям необходимо было разработать схемы, которые могли бы быть реализованы инженерами-практиками. Метод согласованной фильтрации осуществляет оптимальную

линейную обработку радиолокационных сигналов. При такой обработке исходная радиолокационная информация, поступающая на вход приемника и искаженная согласно предположению белым гауссовым шумом, преобразуется к виду, удобному для вынесения оптимального решения об обнаружении (наличия или отсутствия цели) или для оценки параметров цели (дальности, скорости и т. д.) с минимальной среднеквадратичной ошибкой, или для обеспечения максимально возможного разрешения группы целей.

Характеристики согласованных фильтров могут быть описаны. с помощью частотной либо временной функции отклика, которые связаны между собой преобразованием Фурье. В пространстве частот переходная функция согласованного фильтра есть комплексно-сопряженная функция спектра сигнала, который должен быть обработан оптимальным образом. Таким образом в общем виде

где спектр входного сигнала постоянная задержка, нужная для физической реализации фильтра. Нормирующий коэффициент и постоянная задержка, как правило, опускаются при записи основных соотношений теории согласованной фильтрации, которые обычно формулируются в виде

Соответствующая зависимость во временной области между сигналом, который должен быть обработан, и характеристикой согласованного фильтра получается в результате обратного преобразования функции Фурье Это приводит к тому, что импульсный отклик фильтра представляет собой обращенную во времени копию известной временной функции, описывающей сигнал. Таким образом, если импульсный отклик согласованного фильтра есть то основное соотношение, эквивалентное равенству (1.2), имеет вид

Как и в предыдущем случае, произвольная задержка в записи основного соотношения может быть опущена:

Считается, что свойства оптимального приемника в зависимости от параметров спектра сигнала для случая белого гауссового шума [уравнение (1.2)] первым определил Норе 151. Поэтому согласованные фильтры называют также фильтрами Норса; однако Ван Флек и

Миддлтон [6] были, очевидно, первыми, кто использовал термин «согласованный фильтр» по отношению к фильтрам, оптимизирующим отношение сигнал/шум для импульсных сигналов. Вывод требований, которым должен удовлетворять согласованный фильтр, рассматривается в гл. 2 для законченности изложения, а также с тем, чтобы помочь заинтересованному читателю глубже понять сущность систем с согласованными фильтрами. На рис. 1.2 иллюстрируются соотношения, определяемые равенствами (1.3) и (1.5).

Рис. 1.2. Связь между характеристиками сигнала и согласованного фильтра.

Исходные соображения для вывода условий, определяющих оптимальное обнаружение сигнала, поясняются на рис. 1.3, где дана упрощенная схема приемной системы. Выходной сигнал в точке представляет собой смесь сигнала с шумом. Целью разработчика системы являетсй оптимизация вероятности обнаружения сигнала на некотором интервале наблюдения, который может представлять собой строб дальности. В других случаях этот интервал явно не указан, мы просто фиксируем факт, что внимание наблюдателя должно быть направлено на некоторую особую точку случайно либо вследствие наличия априорных данных. Порог наблюдения может быть четко зафиксированным, например, в автоматических сигнализаторах тревоги, или устанавливаться подсознательно человеком-оператором, который по своим физиологическим свойствам способен не учитывать даже сравнительно большие шумовые выбросы, не являющиеся истинными сигналами. Статистические характеристики, используемые в процессе обнаружения, будут зависеть от многих факторов, например от уровня порога и наличия априорной информации относительно расположения сигнала.

Однако даже без учета существенных факторов из рассмотрения рис. 1.3 мы можем заметить, что для. оптимизации процедуры обнаружения, как подсказывает логика, следует попытаться максимизировать пиковое значение сигнала по отношению к шуму. Так как сигнал, по всей вероятности, присутствует редко (непрерывный сигнал по определению не может переносить полезной информации), то при непрерывном наблюдении случайных флюктуаций шумового сигнала мы будем концентрировать внимание на кратковременных отклонениях от усредненного за длительный период или среднеквадратичного значения шума.

Рис. 1.3. Критерий обнаружения сигнала.

С этой точки зрения логично сделать вывод, что получение максимального пикового значения сигнала по отношению к среднеквадратичному значению шума будет приводить к нужной нам оптимизации, т. е.

Читатель, которого интересует определение условий максимизации отношения, задаваемого равенством (1.6), может найти этот вывод в гл. 2, где рассматривается также статистический подход к оптимизации характеристик систем обнаружения. Оба эти подхода приводят к целесообразности использования согласованной фильтрации, которая характеризуется равенствами (1.3) и (1.5). Найдено, что в случае применения согласованного фильтра, который задается этими выражениями, максимальное значение отношения сигнал/шум на выходе фильтра при наличии белого гауссова шума определяется соотношением

Равенство (1.7) для простого импульсного радиолокационного сигнала может быть получено эвристическим путем при

рассмотреции параметров, показанных на рис. 1.4. Энергия принимаемого сигнала равна

а мощность шума определяется как

где спектральная плотность мощности шума и эффективная полоса фильтра.

Рис. 1.4. Параметры импульсного сигнала.

Отношение Пиковой мощности сигнала к мощности шума, выраженное через энергию сигнала, равно

Для получения равенств, описывающих оптимальную обработку, можно использовать известный вывод о том, что ширина полосы фильтра связана с длительностью импульса приближенной зависимостью

где значение всегда близко к единице. Предположим, что тогда отношение сигнал/шум, задаваемое равенством (1.10), сведется к

Этот результат означает для разработчика радиолокатора, что «поскольку согласованный фильтр используется в додетекторных

каскадах приемной системы, то ее способность к обнаружению зависит только от содержащейся в сигнале энергии и никоим образом не связана с формой сигнала, в которой он поступает на вход приемника. Для того чтобы получить оптимальное отношение сигнал/шум на выходе, фильтр должен быть согласован с сигналом. Однако теория показывает, что если построение строго согласованного фильтра окажется практически невыгодным или невозможным, то обычно можно использовать разумную аппроксимацию, причем это весьма слабо скажется на способности радиолокационной системы к обнаружению сигнала.