2.2. О единственности элемента наилучшего приближения

Однозначность метрической проекции определяется свойствами единичной сферы пространства и множества К.

Определение. Пространство X называется строго выпуклым, если его единичная сфера не содержит отрезков ненулевой длины.

Легко установить, что каждое из следующих двух условий эквивалентно строгой выпуклости пространства:

для любых выполняется неравенство

из того, что вытекает равенство при некотором

Теорема 3. Всякое выпуклое множество К в пространстве X является множеством единственности тогда и только тогда, когда X строго выпукло.

Доказательство. Для имеем

где шар и соответственно сфера радиуса с центром в точке

Если допустить, что есть два элемента то в силу выпуклости множества оно содержит весь отрезок тогда а значит, отрезок содержится в единичной сфере. Обратно, если единичная сфера содержит отрезок ненулевой длины, то он являетя множеством неединственности. Теорема доказана.

Пространство измеримых функций, степень модуля которых интегрируема, наделенное нормой является строго выпуклым, поскольку, как хорошо известно, знак равенства в неравенстве Минковского

достигается тогда и только тогда, когда почти всюду на или Шар этого пространства обладает более сильным свойством равномерной выпуклости.

Определение. Пространство называется равномерно выпуклым, если для любого существует такое, что

Функция

называется модулем выпуклости пространства

Очевидно, пространство X является равномерно выпуклым тогда и только тогда, когда при

Пространство является равномерно выпуклым. Его модуль выпуклости определяется из соотношений [100]:

Как показывают примеры

пространства не являются строго выпуклыми. Тем не менее, подпространство многочленов степени, не превосходящей заданного номера является чебышевским в а метрическая проекция на чебышевское конечномерное подпространство К из обладает (это будет показано ниже, гл. I, п. 5.3) так называемым свойством сильной единственности.

Определение. Говорят, что метрическая проекция обладает свойством сильной единственности в точке х, если одноточечное множество и существует число такое, что для любого выполняется неравенство

Наименьшая из таких констант у называется константой сильной единственности.

Для пояснения геометрического смысла введенного понятия положим (см. рис. 4). Неравенство означает, что шар где в окрестности точки у имеет конусообразную форму, а константа у характеризует остроту этого конуса".

Рис. 4

Дадим эквивалентную формулировку сильной единственности

При множество

будем называть -проекцией элемента х. Через обозначаем диаметр множества

Легко видеть, что метрическая проекция обладает свойством сильной единственности в точке х в том и только том случае, когда существует константа для которой

Следует заметить, что в случае пространства метрическая проекция на подпространство свойством сильной единственности не обладает ни в одной точке. Это вытекает из свойства дифференцируемости нормы пространства