1.5. Полная погрешность решения задачи приближения

Рассмотрим процесс аппроксимации в целом. Предположим, что нам предстоит для функциональной зависимости построить аппроксимирующую функцию которая задается сравнительно небольшим числом параметров. Допустим, что мы выбрали подходящую норму и класс аппроксимирующих функций. Если бы функция была известна на всем множестве то нам следовало бы решать задачу (см. (1.1)) о наилучшем приближении

для поиска функции наилучшего приближения. Однако часто информация о функции задается таблицей значений замеренных на некоторой сетке с погрешностью т.е.

где дискретный вариант нормы Поэтому нам вместо приходится аппроксимировать функцию на сетке Будем считать, что существует функция наилучшего приближения для

Для аппроксимации функции нужен алгоритм построения Для создания алгоритма важно знать характеристические свойства функции наилучшего приближения Исходя из определения полинома наилучшего приближения надо, чтобы создаваемый алгоритм позволял для заданного малого числа построить функцию такую, что

Программная реализация этого алгоритма и вычисления на неизбежно выполняемые с погрешностью (округления), приведут нас к функции которая и будет приближенным представлением исходной функции Оценим величину полной погрешности, последовательно вводя обозначения Д» и для краткости заменяя на

В этом неравенстве

— погрешность дискретизации,

— погрешность исходных данных,

— величина уклонения функции от класса V в метрике

— уклонение функций из класса V наилучшего и почти наилучшего приближения (удовлетворяющих условиям (1.2), (1.4) соответственно),

— погрешность вычислений.

Естественно желание сделать сумму возможно меньшей, оценить сверху каждую из погрешностей Погрешность может быть оценена сверху величиной

при фиксированном достаточно большом которая определяется дифференциальными свойствами функций и уменьшается по мере уплотнения сетки Погрешность может быть уменьшена за счет повышения точности измерений функции Погрешность уменьшается за счет удачного выбора класса V, за счет его расширения. Величина

ограничивающая сверху погрешность зависит от свойств пространства и класса функций V, и, как будет показано далее, тесно связана со свойством непрерывности отображения Для уменьшения нужно уменьшить 8. Погрешность может быть сокращена за счет увеличения точности вычислений.

При численном решении задачи приближения важно соизмерять погрешности Так, нецелесообразно выбирать богатый класс V и вести вычисления с высокой точностью, если функция задана с грубыми ошибками, равно как при плохой точности счета не следует очень точно задавать (измерять) функцию и брать богатый класс функций