1.3. О выборе нормы

Чтобы измерять точность приближения, надо сначала определить норму, с помощью которой можно определять уклонение функций. Пусть X — некоторое пространство функций, заданных на множестве Наиболее употребительные — равномерная (чебышевская) норма

в случае, когда пространство с мерой — среднестепенная норма

и ее дискретный аналог

для множества состоящего из конечного числа точек.

Пространство непрерывных на компакте функций обозначается через Поскольку то при малой будет малой и величина для каждой точки Условие с геометрической точки зрения означает, что график функции лежит в криволинейной полосе "ширины" ограниченной сверху и снизу графиками функций (рис. 2).

Рис. 2

Не рекомендуется использовать норму для аппроксимации функций заданных с погрешностью, если известно, что при задании функции в некоторых точках могли быть допущены большие ошибки (случайные выбросы).

Пространство интегрируемых по модулю в степени на множестве функций с нормой обозначается через Когда отрезок, величина имеет простой геометрический смысл: она равна площади фигуры, ограниченной горизонтальной осью и графиком функции (рис. За). При норма является промежуточной для норм и

в том смысле, что

кроме того,

Малость величины не влечет, вообще говоря, малость для всех точек Так, для функции (рис. 36)

будет

Рис. 3

Норму целесообразно применять, когда нет необходимости добиваться хорошего приближения во всех точках из одновременно, когда возможны редкие, но большие ошибки ("случайные выбросы") при задании аппроксимируемой функции. Эксперименты показывают что при поиске схожих изображений

человеческий глаз фактически реализует аппроксимацию в норме, близкой к норме Наиболее просто задача приближения решается в случае нормы наиболее трудно — в случае

На практике может возникнуть необходимость аппроксимировать функцию на некоторой подобласти с повышенной точностью. В этом случае целесообразно применять весовые нормы

где весовая функция. Чтобы добиться на повышенной (в сравнении с точности аппроксимации, нужно взять вес который в точках принимает большие значения, чем в точках . В самом деле, если, к примеру, в равномерной норме то