X посредством множества 
есть задача условной минимизации
Для ее численного решения можно использовать любой известный алгоритм минимизации выпуклой функции. Но наиболее эффективны алгоритмы, построенные с учетом специфики функционала 
которую можно использовать тогда, когда известны характеристические свойства элемента наилучшего приближения, или хотя бы необходимые условия экстремума. Глубокие теоремы о характеризации элементов наилучшего приближения установлены для конкретных норм и классов К. О них речь пойдет далее. Здесь для общих пространств приводится простая теорема, опирающаяся на хорошо известную теорему об отделимости (см., напр., [23]).
Теорема 7. Если 
непересекающиеся выпуклые множества из нормированного пространства X и одно из них содержит внутреннюю точку, тогда существует линейный непрерывный функционал 
для которого
Теорема 8. Пусть К — выпуклое множество в нормированном пространстве 
Элемент 
является элементом наилучшего приближения из К для 
тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный функционал 
для которого
Необходимость. Пусть у — элемент наилучшего приближения, т.е. 
где 
По определению расстояния 
открытый шар 
не пересекается с К. В силу теоремы об отделимости найдется линейный непрерывный функционал 
такой, что числа
функция 
является выпуклой, поскольку для любых 
выполняется неравенство 
Задача о наилучшем приближении элемента 
Очевидно,
Поскольку 
непрерывен, то для замкнутого шара 
будет 
Ввиду того, что 
выполняется неравенство 
значит, 
нулевой элемент пространства, и будем использовать уже введенные обозначения 
Допустим, что у не является ближайшим из К элементом для 
значит, существует 
и тогда имеет место неравенство
