12.4. Периодические всплески

В этом параграфе приводятся основные факты по периодическим всплескам, взятые из [112], [50].

Пусть -регулярный КМА в замыкание пространства в слабой топологии пространство функций из имеющих период 1.

Относительно справедливы утверждения:

а) при подпространство состоит из постоянных функций,

б) при имеет размерность

г) плотно в пространстве непрерывных на периодических с периодом 1 функций.

Определение. Последовательность называется -регулярным КМА в пространстве периодических с периодом 1 функций.

С помощью функций задаваемых исходным КМА, определим функции

и обозначим через ортогональное дополнение до

Лемма 2. Для любого

функции образуют о.н.б. подпространства

функции образуют о.н.б. подпространства

Таким образом,

значит, постоянная функция вместе с последовательностью

образуют о.н.б. пространства Занумеруем эти функции лексикографически: если то

Напомним, что базис Шаудера это такой базис, для которого коэффициенты разложения элементов пространства непрерывно зависят от раскладываемого элемента.

Теорема 3. Последовательность является базисом Шаудера в при является безусловным, базисом в пространствах

Отметим, что тригонометрическая система не является базисом Шаудера в Она образует базис Шаудера в но не безусловный базис.