3.6. Кратко о всплесках

В разнообразных прикладных задачах приходится обрабатывать непериодические функции (сигналы), зануляющиеся вне конечного отрезка времени, сигналы с меняющимся набором частот. В этом случае применять перечисленные выше тонормированные системы нецелесообразно, поскольку каждая из функций этих систем имеет в качестве носителя всю числовую ось и в случал алгебраических многочленов принимает большие значения в точках, далеких от начала координат. Нужны ортонормированные системы функций каждая из которых либо имеет конечный носитель, либо быстро убывает на бесконечности и, кроме того, может быть эффективно вычислена для любого номера k. Существует такая функция (всплеск) что система функций

где множество целых чисел, образует ортогональный базис в пространстве а если функция и ее производные быстро убывают на бесконечности, то этот базис является безусловным для пространств Соболева (см. [108]). Напомним, что система называется базисом, если для любого существует

единственный набор коэффициентов такой, что

где сходимость ряда понимается в метрике пространства

Базис называется безусловным, если для любого х ряд сходится безусловно, т.е. сходится при любой его перестановке. Примеры.

1. Функция

порождает базис Хаара в

2. Четная относительно функция

порождает ортонормальный базис в

Метод построения базиса всплесков дает так называемый кратно-масштабный анализ. Теории всплесков посвящен § 12.