1.2. Характеризация решения

Прежде всего отметим, что решение задачи (1.5) не всегда существует. Так, в случае решения задачи нет. Но если, к примеру, пространство рефлексивно, а одно из множеств ограничено, то решение будет существовать как точка минимума непрерывного функционала

на ограниченной части замкнутого выпуклого множества из рефлексивного пространства Поэтому далее будем предполагать, что хотя бы одно из множеств ограничено.

Теорема 1. Пусть замкнутые выпуклые множества из Для того чтобы ломаная была решением задачи (1.5), необходимо, а если пространство гладко, то и достаточно, чтобы нашелся набор номеров такой, что

Если пространство гладко и строго выпукло, и хотя бы одно из множеств является строго выпуклым, то для любого решения задачи (1.5) выполняются равенства

Доказательство. Необходимость. В дальнейшем будем использовать обозначения

Пусть решение задачи Среди номеров для который выделим совокупность таких, что

Множество разбивается на группы (так, что каждый набор содержит все натуральные числа от до Все с номерами заменим новыми элементами (оставив для них прежнее обозначение) такими, что

Зафиксируем . Набор удовлетворяет условиям 1), 3) теоремы и

Обозначим Если на каждом из крайних элементов этого набора достигается нижняя грань

то набор удовлетворяет условию 2) теоремы и, значит, является искомым. Пусть элемент не обладает указанным свойством. Заменим другим элементом (сохранив для него прежнее обозначение) таким, что выполняется (1.7), и рассмотрим набор номеров Повторяя последовательно рассуждения, приведенные для построим Через конечное число шагов либо

а) найдем набор удовлетворяющий условиям 1), 2), 3) теоремы, либо

б) все элементы с номерами заменим новыми, для которых выполняется (1.7). Поскольку решение задачи, то для одного из номеров реализуется случай а). Необходимость условий доказана.

Достаточность. Пусть для ломаной набор случай тривиален) удовлетворяет условиям теоремы, и никакое его собственное подмножество не удовлетворяет этим условиям. Если то из соотношений

следует, что решение задачи (1.5). Пусть теперь Отметим номера такие, что для всех и никакие три соседние точки не лежат на одной прямой точки излома ломаной

Отметим, что где граница множества Пусть градиенты функционалов соответственно в точке Ясно, что Обозначим

Из свойства симметрии нормы, ее гладкости и равенства

следует равенство значит, соотношение

Установим включение

Элемент является решением следующей экстремальной задачи

где выпуклая по функция (1.6). По теореме Куна-Таккера (см. [58], стр. 87) существуют из нормального конуса для множества точке и числа такие, что

На самом деле в противном случае будет точкой глобального минимума функционала в силу строгой выпуклости пространства, будем иметь Чтобы убедиться в справедливости (1.10), достаточно проверить, что

Эта импликация следует из (1.11). В самом деле, если то функционалы линейно независимы. Поэтому и ввиду (1.11)

Соотношения (1.12), а значит, и (1.10) установлены. Отметим еще, что если строго выпукло, то

где замыкание множества Теперь покажем, что

а поскольку

то тем самым будет показано, что решает задачу (1.5). Допустим, что существует для которого

и значит,

Имеем . В силу (1.14) и значит, Ввиду Повторяя эти рассуждения для получим Поскольку то, учитывая (1.9), получим неравенство которое противоречит соотношению (1.14). Достаточность условий установлена.

Пусть теперь гладко и строго выпукло, множество строго выпукло и пусть произвольное решение задачи (1.5).

Используя (1.9), (1.10) и неравенства получим

В силу строгой выпуклости пространства и множества а также неравенства получаем, что нижняя грань (1.9) при достигается для единственной пары точек . А поскольку то Далее, пользуясь строгой выпуклостью пространства соотношениями (1.15) и (1.9), можно установить последовательно равенства Теорема полностью доказана.

Замечание. Условие строгой выпуклости пространства и хотя бы одного из множеств или в последнем утверждении теоремы отбросить нельзя. В этом легко убедиться на примере:

где - линейный непрерывный на функционал.

Набор элементов удовлетворяющий условиям теоремы, следуя Н.П. Корнейчуку [76], будем называть жестким звеном задачи (1.5). Жесткое звено будем называть минимальным (кратко если оно не содержит собственного подмножества, являющегося жестким звеном. Соответствующий набор номеров иногда будет удобно называть также жестким звеном. При доказательстве теоремы попутно (см. (1.13)) было установлено следующее соотношение (утверждение об "очистке")

где