4.2. Сходимость алгоритма поиска кратчайшей траектории

В настоящем пункте гильбертово пространство, а Пусть последовательность ломаных получена в результате применения алгоритма А. Рассмотрим углы

Если ломаная решение задачи (2.5), то в силу теоремы 1 имеем Следовательно, за меру близости ломаной к решению можно взять величину

Лемма 2. Справедливы неравенства

Доказательство. Используя предложение 2 из п. 2.2, найдем гиперплоскости опорные к в точке и такие, что плоскость ортогональна и отрезки образуют с одинаковые углы. Пусть гиперплоскость, содержащая и параллельная плоскости точка, симметричная для относительно Плоскости образуют с одинаковые углы, поэтому Пусть у (соответственно проекция точки (точки на Нетрудно видеть, что в силу построения плоскостей отрезки пресекаются с отрезками Отсюда

Для завершения доказательства (4.11) осталось отметить, что

Неравенство (4.10) очевидно. Лемма доказана. Из леммы 2 следует

Лемма 3. Пусть гильбертово пространство, шар из Найдутся константы и число такие, что для любого выполняется неравенство

Доказательство. Если то неравенство (4.12) очевидно выполняется. В случае оно может нарушаться при или 2), где точка определена следующим образом: Поэтому достаточно выбрать так, что . Лемма установлена.

Теорема 2. Пусть гильбертово пространство, шары решение задачи (2.5) и последовательность ломаных получена в результате применения алгоритма А. Существует такое, что если то для последовательности выполняется соотношение

где константа,

Доказательство. Из леммы 3 следует

В силу леммы 2

где Учитывая (4.14), получаем

Отсюда

Суммируя равенства (4.15) и обозначая будем иметь

Из этого равенства и (4.16) следует

Теорема доказана.

Следствие 2. В условиях теоремы 2

В самом деле, из получаем, что сходится и, значит, ввиду предложения 2 из п. 2.2 сходится последовательность Из сходимости последовательностей вытекает сходимость последовательности значит, последовательности Рассуждая далее аналогично, при получаем (4.17).

Рис. 1 (см. скан)

На рис. 1 приведены траектория с меткой реализующая и кратчайшая траектория с меткой соединяющие шары из с центрами радиусов соответственно.