10.5. Интерполирование сплайнами

Для функций одной переменной рассмотрим простейшие случаи интерполяции параболическими и кубическими сплайнами. Пусть сетка узлов сплайна, совокупность сплайнов второй и третьей степени дефекта 1. Предположим, что заданы значения интерполируемой функции в точках называемых узлами интерполяции, при этом

Таким образом, для сетка содержит узел и, как ранее установлено, а для сетка содержит узла и В обоих случаях размерность пространства сплайнов на 2 единицы больше числа интерполяционных условий Для однозначного определения сплайна, интерполирующего значения задают (см. [16]) дополнительно два условия одного из следующих типов

если функция периодическая с периодом равным Полный набор интерполяционных условий приводит (см. [16]) к системе из при при линейных уравнений относительно коэффициентов сплайна. Установлены оценки скорости сходимости интерполяционных сплайнов и их производных через модуль непрерывности интерполируемой Функции и максимальный шаг сетки. Приведем такую оценку (см. [16]) для периодической с периодом дважды непрерывно дифференцируемой функции и параболического интерполяционного сплайна:

где

Оценки уклонения функции двух и большего числа переменных, заданной на триангулированной области, от интерполяционных сплайнов определяются геометрическими свойствами триангуляции. Так для многочлена степени интерполирующего на регулярной сетке частичного треугольника функцию имеющую в любом направлении I ограниченную производную порядка справедливо [65] неравенство

где максимальная сторона треугольника в — его наибольший угол.

Удобным аппаратом представления функций двух переменных с известными значениями на прямоугольных сетках являются билинейные сплайны, которые на каждом частичном прямоугольнике определяются по формуле

где