4. Характеризация полинома наилучшего приближения в La

Рассмотрим задачу о наилучшем приближении полиномами в пространстве функций заданных на множестве с лебеговой мерой, для которых

Пусть линейно независимая система функций из подпространство полиномов по этой системе.

Теорема 1. Для того чтобы полином был полиномом наилучшего приближения для функции необходимо и достаточно, чтобы для любого полинома умело место равенство

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 п. 3.2. Если (4.1) выполнено, то для любого из того, что

следует полином наилучшего приближения. Докажем необходимость условия (4.1). Если при некотором к

то найдется малое число такое, что

Тогда

следовательно,

и не является наилучшим.

Приведем без доказательства теорему [105] о характеризации полинома наилучшего приближения в пространстве Будем обозначать

Теорема 2. Для того чтобы полином был полиномом наилучшего приближения для функции необходимо и достаточно, чтобы для любого имело место неравенство