12.2. Кратномасштабный анализ в L2(R)

Последовательность замкнутых подпространств из образует кратномасштабный анализ если выполняются следующие условия:

6) Существует такая, что последовательность образует ортонормированный базис в подпространстве

В условии 2 черта означает операцию замыкания в

Функция называется масштабирующей, подпространством функций масштаба Отметим, что перечисленные свойства 1) — 6) не являются независимыми. В дальнейшем будем использовать обозначение

Пример 1. Пусть характеристическая функция отрезка [0,1] (масштабирующая функция Хаара),

— замыкание по норме линейной оболочки множества функций из постоянных на сегментах вида

Легко убедиться, что последовательность образует КМА.

Свойства 1) — 6) КМА позволяют построить ортонормированный базис вида в пространстве . А именно, справедлива

Теорема 1. Пусть

функция, определенная в 6). Тогда система функций является ортонормированным базисом пространства

Здесь скалярное произведение функций

Пример 2. КМА , задаваемый масштабирующей функцией Хаара определяет базис Хаара

Полное доказательство теоремы 1 имеется в [112], [108]. Здесь приводится лишь схема рассуждений.

Из 4), 6) следует, что последовательность есть о.н.б. подпространства для любого Однако несмотря на вложение система не является частью

Пусть т.е. ортогональное дополнение подпространства В силу свойства 1) будет и для любых

Из 2) и 3) следует, что

Подпространство наследует от свойство 4)

Если такова, что

то по

и, ввиду (12.5),

В соответствии с (12.7) сосредоточим внимание на Любая Функция из удовлетворяет условиям:

Условие а) означает, что

где скалярное произведение в Переходя к образам Фурье

выразим это условие в терминах преобразования Фурье

В частности, для будет

Условие б) эквивалентно тому, что для любого к т.е.

Разбивая на сумму промежутков и учитывая -периодичность функции получим

откуда

Подобным образом доказывается

Лемма 1. Последовательность является ортонормированной тогда и только тогда, когда

Здесь и далее "п.в." означает "почти всюду".

После подстановки (12.10) в (12.12), а также (12.10) и (12.9) в (12.11) и разбиения каждой суммы на две — по четным и нечетным номерам, получаем

В силу не могут зануляться одновременно, поэтому ввиду (12.14) существует -периодическая функция такая, что почти всюду

Последнее равенство означает, что где некоторая -периодическая функция. Таким образом, любая функция имеет образ Фурье следующего вида

где некоторая -периодическая функция, и

В частности, образ Фурье искомой функции выражается по формуле (12.15) с Если для этой функции система ортонормирована, то из тождества, аналогичного (12.12), но записанного для функции с учетом (12.13), следует, что

Ради простоты можно положить тогда

и, значит, учитывая (12.10), получаем, что следовательно, можно считать, что система является базисом в В самом деле, если то для нее справедливо (12.15) с некоторой функцией значит по (12.17)

откуда после преобразования Фурье следует

Понятие КМА можно видоизменить, потребовав вместо 6) выполнимость условия

6) существует функция для которой последовательность является базисом Рисса в т.е. является замыканием в линейной оболочки последовательности и существуют константы такие, что

для любой последовательности чисел Заметим, что

поэтому (12.18) эквивалентно условию

Если выполнено (12.18), то можно определить функцию так, чтобы она удовлетворяла условию 6) и

Определение. КМА называется -регулярным если функция может быть выбрана так, что

для любых где константа.