3.4. Оценка погрешности приближения

Величину погрешности аппроксимации элементов из их суммами Фурье можно выразить через их коэффициенты Фурье. Сначала отметим, что для и элемента наилучшего приближения в силу соотношения

и условия (3.2) выполняется равенство (Пифагора):

а норма элемента вычисляется по формуле

Определение. Система называется замкнутой в если для любых найдутся и коэффициенты для которых

Теорема 6. Если ортонормированная система замкнута в то для любого

и справедливо равенство Парсеваля

Доказательство. Для произвольного найдем номер и коэффициенты такие, что Как отмечено выше, частичная сумма Фурье является элементом наилучшего приближения из подпространства для поэтому

отсюда Применяя равенство Пифагора и (3.5), получаем равенство Парсеваля. Впрочем, равенство Парсеваля следует также из (3.4).

Как следствие из сказанного выше, получаем важную для приложений теорему.

Теорема 7. Пусть замкнутая ортонормированная система в пространстве подпространство, натянутое на элементы Тогда

Поясним значение соотношения (3.7). Предположим, что в пространстве со скалярным произведением задана замкнутая ортонормальная система и требуется для данного представить элемент в виде линейной комбинации некоторых элементов из системы

с возможно меньшей по норме пространства погрешностью. Чтобы этого добиться, надо, как это следует из теоремы, в качестве базисного набора брать тот набор, для которого достигается точная верхняя грань

по всем наборам из элементов, и в качестве брать коэффициенты Фурье

В важнейших случаях функциональных пространств для величины наилучшего приближения установлены оценки сверху (неравенства Джексона) через так называемый модуль непрерывности приближаемой функции или ее производных. Здесь приводится одно такое неравенство для пространства -периодических функций со скалярным произведением

и системы

Эта система является замкнутой, как показывает

Теорема 8 (Вейерштрасс). Для любой функции и любого существует тригонометрический полином

такой, что

Определение. Модулем непрерывности функции называется функция

Модуль непрерывности это фактически количественная характеристика "плавности изменения" функции Далее величина наилучшего приближения функции тригонометрическими полиномами порядка

оценивается через

Теорема 9 (Джексон). Существует константа такая, что для любой функции и любого выполняется неравенство

Неравенство Джексона (3.8) справедливо для ряда других функциональных пространств, в частности, для приближения алгебраическими многочленами в пространстве модуль непрерывности определяется следующим образом

Приведем доказательство [74] неравенства (3.8) с константой . В [74] показано, что наименьшая из констант, для которых справедливо (3.8).

Теорема 10 (Н. И. Черных). Для любых выполняется неравенство

Доказательство. Пусть

— коэффициенты Фурье функции Равенство (3.7) означает, что Далее, ввиду замкнутости тригонометрической системы

и, учитывая равенство Парсеваля, получим

Отсюда

Покажем, что функция удовлетворяет неравенству

Функция четная. Допустим на [0, Тогда для четной на функции быть Однако, как показывают простые расчеты,

и по равенству

Из (3.9) и (3.10) следует справедливость (3.8) при Доказательство завершено.