3. Аппроксимация множеств и функций

3.1. Метризация пространств множеств

Как отмечалось во вводной части главы, множества, обладающие фрактальной структурой, встречаются в различных областях естествознания. Это могут быть конечно-точечные множества, компактные множества, измеримые множества и др. На разных классах множеств можно разными способами определять метрику. В этом пункте приводятся некоторые из них.

Наиболее употребительна метрика Хаусдорфа. Пусть полное метрическое пространство, пространство компактных множеств из Расстояние Хаусдорфа между подмножествами определяется следующим образом:

где Метрику Хаусдорфа целесообразно применять лишь при обработке данных, полученных с высокой точностью. Поясним это на примере. Предположим, что требуется аппроксимировать множество точек, являющихся эпицентрами землетрясений в некотором регионе Земли. Это множество представлено множеством точек, полученных посредством сейсмологических измерений. Пусть аппроксимирующее множество, найденное как результат приближения множества

М в хаусдорфовой метрике. Если положение хотя бы одной точки измерено с большой ошибкой, тогда, вероятно, множество будет существенно отличаться от не только в окрестности точки но и в других местах, т.е. ошибка измерения одной точки множества может повлечь большие ошибки аппроксимации других точек. Поэтому представляют интерес способы измерения уклонения множеств "в среднем".

Если X — пространство с мерой совокупность измеримых множеств, тогда можно снабдить метрикой

Для конечно-точечных множеств вариант метрики "в среднем" предложен С.Н. Васильевым. Пусть — подмножества метрического пространства наименьшее общее кратное этих чисел. Образуем множество повторив раз каждую из точек множества аналогично построим множество Положим

где минимум взят по всем перестановкам набора Уклонение удовлетворяет всем аксиомам метрики. Его существенным недостатком является большие временные затраты при численной реализации.

Приведем еще один способ измерения расстояния между ограниченными множествами из предложенный И. Царьковым. Пусть единичный куб и его представление с помощью частичных кубиков диаметра 8, полученных равномерным разбиением куба Для множеств расстояние определим следующим образом:

и расстояние Хаусдорфа. Расстояние является хаусдорфовым в малом и одновременно обладает свойством усредняющего расстояния.