10.6. Сглаживание экспериментальных данных

Задачу сглаживания приходится решать при обработке экспериментальных данных снятых на сетке с погрешностью, величина которой оказалась достаточно большой в сравнении с шагом сетки. В этой ситуации приходится аппроксимировать сеточные данные, лавируя между двумя противоречивыми условиями: высокая точность аппроксимации и высокая гладкость аппроксимирующей функции. Объединить эти два требования можно постановкой следующей экстремальной задачи (см., напр., [16])

где

класс функций для которых неотрицательные весовые множители. Увеличение множителей по сравнению с величиной позволяет повысить точность аппроксимации на сетке, разумеется, за счет потери гладкости аппроксимирующей функции.

Известно, что существует единственное решение задачи (10.15). Более того, функция на которой достигается точная нижняя грань (10.15) является сплайном из класса сплайнов степени дефекта 1. Следовательно, задача сглаживания (10.15)

водится к экстремальной задаче на конечномерном подпространстве

Аналогично ставится задача сглаживания массива значений Функции двух переменных, замеренных на сетке из области определения функции В частном случае такая постановка выглядит следующим образом:

где нижняя грань берется на классе кубических сплайнов двух переменных.

В заключение отметим, что наряду с (10.15) возможны постановки:

Часто на практике сглаживание замеренных данных осуществляют посредством интерполяции сплайнами по прореженной сетке.