3.2. Упрощенная модель движения центра масс

Остановимся на следующей модели.

Земля представляет собой эллипсоид вращения (геоид), полученный сжатием шара по полярной оси;

ее гравитационное поле задается известной [2] -точечной моделью (земное поле приближенно представляется набором из точечных масс, расположеннных внутри геоида);

влияние атмосферы отсутствует.

Зафиксируем стартовую прямоугольную систему координат которой ось направлена по нормали к геоиду. Положение центра масс в ней определяется координатами вектором скорости Пусть в — угол между осью X и проекцией вектора V на плоскость угол между этой проекцией и вектором V (см. рис. 6), А — азимут, т.е. угол между осью X и проекцией V на плоскость

Движение центра масс подчиняется системе уравнений:

Рис. 6

где

длина вектора скорости, координаты центра Земли в стартовой системе координат, радиальная и меридиональная составляющие (стандартного) нормального ускорения силы тяжести центрального поля, учитывающие полярное сжатие геоида, Аду, составляющие приращения ускорения, вызванного наличием аномалий гравитационного поля, и — угловая скорость вращения Земли, географическая широта точки

Суть метода построения формул для вычисления координат точки встречи центра масс с земной поверхностью состоит в следующем. Выделим три этапа этого метода. Как уже отмечалось, вектор-функция зависит от большого числа переменных

Приведенная выше модель отражает зависимость от начальных данных.

I. На первом этапе найдем численные значения на достаточно густой сетке в пространстве переменных. Для этого, к примеру, в случае приведенной модели можно решать систему (3.1) методом выбирая в качестве начальных последовательно точки из сетки. При необходимости модель может быть уточнена введением дополнительных переменных, скажем, атмосферных данных.

II. Классическая эллиптическая теория (см. [2]) позволяет выписать формулы (Кеплера) для координат точки падения центра масс в случае центрального поля притяжения. Выражение для можно считать грубой аппроксимацией для функции Разность представляет погрешность формул Кеплера. На третьем этапе функция аппроксимируется на сетке простыми комбинациями элементарных функций: Искомая формула для приближенного вычисления имеет вид

В дальнейшем в качестве переменных будут взяты следующие параметры начальной точки:

высота начальной точки,

величина скорости,

А — азимут,

В — угол между вектором скорости и горизонтальной плоскостью,

географическая широта,

— географическая долгота.

При небольшой дальности полета переменная слабо влияет на результат, поэтому далее исследуется зависимость точки от пяти переменных Определению подлежат взаимно связанные величины — широта, долгота точки и дальность