5.2. Характеризащия полинома наилучшего приближения

Классическая теорема о характеризации алгебраического многочлена (заданной степени) наилучшего приближения связана с именем П. Л. Чебышева. Речь о ней пойдет далее. Сейчас приведем теорему

для полиномов по произвольной системе функций, заданных на компакте

Теорема 2 (А. Н. Колмогоров). Пусть линейно независимая система функций из Для того чтобы был полиномом наилучшего приближения для необходимо и достаточно, чтобы не существовало полинома для которого

Необходимость. Предположим, что существует полином удовлетворяющий неравенству (5.7). Для некоторого будет при в силу замкнутости Поскольку непрерывны и, значит, равномерно непрерывны на существует при котором

для любых Отсюда

и, в частности, следует, что имеют одинаковые знаки на Кроме того, для некоторого будет

Поэтому, выбрав так, что получим и

при .

Следовательно, не является полиномом наилучшего приближения.

Достаточность. Если не является полиномом наилучшего приближения, то для некоторого будет шачит, полином в точках принимает тот же знак, что и Теорема доказана.

Для того, чтобы дать геометрическую интерпретацию условия (5.7), напомним

Определение. Выпуклой оболочкой множества называется совокупность выпуклых комбинаций конечных наборов точек т.е.

Теорема 3 (Каратеодори). Любой элемент из является выпуклой комбинацией не более чем точек из т.е.

Через далее обозначается нулевой элемент пространства.

Следствие 1. В условиях теоремы А.Н. Колмогорова следующие утверждения эквивалентны:

1) полином является полиномом наилучшего приближения,

3) существует набор такой, что

Доказательство. Эквивалентность условий 2) и 3) обеспечивается теоремой Каратеодори. Множество выпуклый компакт в Если то по известной теореме об отделимости (см., напр., п. 3.2) найдется линейный функционал на разделяющий и т.е. существуют числа Для которых

и по теореме А. Н. Колмогорова не является наилучшим. Обратно, если не наилучший, то найдется полином удовлетворяющий условию (5.7), и, значит, и разделяются линейным функционалом,

В случае, когда имеет место классическая

Теорема 4 (П. Л. Чебышев). Многочлен является многочленом наилучшего приближения для функции тогда и только тогда, когда существует набор точек из отрезка такой, что для выполняются соотношения

где число одно и то же для всех

Такой набор точек называется чебышевским альтернансом.

Необходимость. Предположим, что не существует набора из точек, удовлетворяющего условию (5.8). Пусть

Ради определенности будем считать, что Введем последовательно точки

с наибольшим возможным значением номера По предположению Пусть ближайший слева к нуль разности Тогда многочлен степени и число можно выбрать так, что По теореме А. Н. Колмогорова не является наилучшим. Достаточность вытекает из следующей теоремы.

Теорема 5 (Валле-Пуссен). Пусть для имеется многочлен такой, что для существует набор точек из отрезка удовлетворяющий условиям Тогда для величины наилучшего приближения функции многочленами степени справедливо неравенство

Доказательство. Допустим, что существует многочлен для которого Тогда, представив многочлен в виде замечаем, что он чередует знак в точках и поэтому имеет не менее нуля, чего не может быть. Теорема установлена.

Без доказательства заметим, что теорема Чебышева справедлива (см. [24]) для полиномов по произвольной системе удовлетворяющей условию Хаара, а для систем удовлетворяющих условию Хаара на произвольном компакте полином наилучшего приближения характеризуется тем, что для некоторого набора выполняется условие

где

— определитель, получающийся из матрицы вычеркиванием строки, а число не зависит от