6.2. Формулы для функций ...

В [28] в задаче рационализации расчетов лучистых потоков в простейших системах тел функции рассматривались с позиции получения единой формулы для всех значений аргумента из Диапазон значений определен существом рассматриваемой задачи: при изотропном излучении поверхностей в расчетах могут понадобиться -функции до 4-го порядка и -функции до 5-го порядка включительно.

Функция является асимптотой для функций поэтому естественно ее рассматривать в качестве множителя этих функций при построении аппроксимирующих функций для всех значений аргумента из В [62] для больших х приведены формулы для с множителями Имеется формула для с множителем (ссылки на эту формулу и ее вид можно найти, напр., в [29]). При построении аппроксимаций для функций из рассматриваемых диапазонов для множитель оказался подходящим для всех функций множитель обслуживает приближения для функций При этом для приближенного

представления функций взяты формулы следующего общего вида:

Коэффициенты рациональных дробей для конкретных значений получены с помощью программы дробно-рациональной аппроксимации [52] (см. также [54], [55]).

Опишем кратко, какая при этом решается задача аппроксимации, и используемый для ее численного решения алгоритм. Задана функция одного переменного на сетке множество алгебраических рациональных дробей

и некоторая непрерывная функция Определяем функцию Требуется найти величину

наилучшего равномерного приближения и рациональную дробь заданной степени с положительным на сетке знаменателем, для которой реализуется равенство

В основе алгоритма, реализованного в программе [52], лежит итерационный метод Чини и Лоэба [87] (см. также гл. I, § 9). Строится последовательность рациональных дробей решений минимаксной задачи

где соответственно знаменатель, числитель и величина максимального уклонения, полученные на предыдущей итерапии, Начиная с произвольной рациональной дроби для

Таблица 1. (см. скан) Результаты аппроксимации функции

любого получим последовательность рациональных дробей, знаменатель которых автоматически сохраняет положительность на Последовательность максимальных уклонений сходится к величине наилучшего приближения А.

Полученные с помощью программы [52] результаты для функции приведены в таблице 1, для функции

- в таблице 2, где максимальная относительная погрешность в процентах.

Замечание. Функция требует специального подхода,

Таблица 2. (см. скан) Результаты аппроксимации функции

имеет логарифмическую особенность. В работе [101] приводится приближающая функция, разрывная в точке на отрезке [0,1] функция представляется рядом, а для используется дробно-рациональная функция. Избежать неудобств, связанных с разрывом, для случаев, когда не требуется высокая точность, можно используя формулу (Детков С.П., Осипова Н.М., см., напр., [29])

где постоянная Эйлера.

Подход, основанный на выделении множителей с последующим

решением задачи наилучшего дробно-рационального приближения, позволяет получать хорошие результаты и в других задачах, связанных с вычислением лучистых потоков. Например, в задаче вычи сления степени черноты бесконечного цилиндра ([29]) приближаемая функция имеет вид

Полученное выражение вида

с

достаточно эффективно аппроксимирует функцию Максимальная относительная погрешность при не превышает а уже на отрезке [3,10] относительная погрешность становится меньше 0.004%.