10.7. Метод конечных элементов
На применении сплайнов основан метод конечных элементов численного решения дифференциальных уравнений. Суть этого метода такова: краевой задаче ставится в соответствие вариационная задача, последняя решается методом Галёркина (Ритца-Галёркина), когда в качестве конечномерных пространств выбираются подпространства сплайнов. Здесь целесообразно использовать сплайны большого дефекта: решение задачи сводится к поиску составляющих его полиномов, причем каждый полином определяется либо независимо от
остальных, либо зависит только от ближайших его соседей ("матрица жесткости" имеет много нулевых элементов). Продемонстрируем метод на простом примере [16]. Пусть
граница 
— производная по нормали к 
Исходная задача
сводится к вариационной задаче поиска и из условий:
на 
для любых 
таких, что 
и принадлежат 
Для иллюстрации ограничимся прямоугольными элементами, разбив 
на сумму четырех квадратов
и выразив через
базисные функции 
следующим образом:
Приближенное решение 
будем искать в виде 
исходя из условий 
и при разбиении основного прямоугольника на большее число частичных прямоугольников. При этом в силу того, что 
отличны от нуля лишь не более чем на четырех смежных частичных прямоугольниках, в соответствующем аналоге системы (10.16) многие коэффициенты 
будут равны нулю.
