5. Приближение классом Липшица вещественных функций

Н.П. Корнейчуком [76] установлены характеристические свойства ближайшей к функции из класса функций, удовлетворяющих условию Липшица

В настоящем параграфе дается описание множества элементов наилучшего приближения из липшицева класса в пространстве

Пусть пространство вещественнозначных функций, определенных на произвольном множестве с нормой

Для класса функции обозначим

где условие означает, что для всех Далее

Теорема 1 ([83]). Пусть класс удовлетворяет условию

тогда

и

где Кроме того, если тогда и

Доказательство. Сначала отметим очевидное соотношение

Обозначим

Для любого существует такая, что

Для имеем поэтому и ввиду произвольности справедливо неравенство . С другой стороны, для любой пары функций такой, что при будет

т.е. Поскольку отсюда следует Равенство (5.2) доказано. Пусть тшерь тогда из (5.2) и неравенства следует

Для любого существуют такие, что (см.

По определению функций имеем

Следовательно, отсюда

и равенство (5.4) доказано. При функция

принадлежит К и (см. (5.1) для

Следовательно, по Сейчас докажем (5.3). Обозначим через множество Пусть т.е. и

Учитывая неравенство и импликацию (5.5), получим т.е. Следовательно, Для будет

Следовательно,

для т.е.

Поскольку

то

что дает включение Доказательство завершено.