Глава III. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

1. Аппроксимация и задача навигации по геофизическим полям

1.1. Задача навигации

Пусть функция, заданная на множество — множество из функцию

будем называть фрагментом функции соответствующим точке Ради удобства будем считать, что

Предположим, что нам известны функции т.е. известны множества значений

но не известна точка Задачу определения точки по данным (1.2) будем называть задачей навигации или задачей привязки (см. напр. [10]).

Одним из источников приведенной постановки является проблема навигации по геофизическим полям автономно движущегося аппарата, которая в упрощенном варианте формулируется следующим образом. Аппарат двигается над регионом земной поверхности и имеет в бортовом компьютере численную информацию о некотором геофизическом поле например, о высоте земной поверхности над уровнем моря. Находясь над точкой координаты которой не известны или известны с ошибкой, аппарат измеряет фрагмент (1.1) поля (рис. 1). Множество А называется областью визирования, ее размеры определяются возможностями высотомера.

Рис. 1

Аппарат должен определить свое местоположение, т.е. координаты точки используя хранимую информацию и снятую с реального поля информацию Для этого на бортовом компьютере решается следующая экстремальная задача

где подходящим образом выбранная норма на множестве норма сужения функции на Если одно из решений задачи то евклидово расстояние — есть не что иное, как ошибка привязки.

Заметим, что может быть вектор-функцией компонентами которой являются различные геофизические поля региона высота рельефа, оптическая яркость, радио яркость, гравитационные поля и др.

Задача привязки (1.3) встречается в других областях, например, при обработке фотоснимков с целью определения местоположения заданного фрагмента на общем изображении, при конструировании сжимающих отображений, реализующих фрактальные методы

обработки данных, для поиска "домен", соответствующих заданным "регионам" (см. гл. II).