2. Кратчайшая кусочно-линейная траектория

2.1. Постановка задачи

Пусть заданы набор точек и класс

т.е. класс траекторий точки движущейся со скоростью, ограниченной по величине константой К. Наряду с задачей (1.2), рассмотренной выше, представляет интерес задача отыскания моментов времени и траектории таких, что

Эту задачу можно изучать на более узком классе траекторий для которых

Очевидно, решение задачи (2.2) содержится в множестве кусочно-линейных траекторий (ломаных) с узлами, т.е. в множестве ломаных В дальнейшем

— длина траектории

— расстояние от точки до траектории Задача (2.1) сводится к задаче отыскания ломаной для которой

В самом деле, если решение задачи (2.1), то

т.е. и если решение задачи (2.3) при то

и, выбирая из условия

получим кусочно-линейную траекторию (с узлами из класса откуда

Задача (2.3) — это задача построения траектории заданной длины, максимально приближающейся к каждой из точек Сформулируем "двойственную" к (2.3) задач среди ломаных

для которых найти ломаную наименьшей длины:

Предложение 1. Ломаная х является решением задачи (2.3) (решением задачи (2.3) с граничными условиями тогда и только тогда, когда она является решением задачи (2.4) (соответственно решением задачи (2.4) с граничными условиями для При этом Функция является выпуклой и строго убывающей по переменной на

Доказательство. Установим равенство Для любого найдется ломаная такая, что

Для ломаной где

будем иметь

поэтому Предположим теперь, что тогда найдется ломаная такая, что

для при достаточно малом будем иметь

что противоречит определению числа Равенство доказано. Пусть решение задачи (2.3), тогда (если то при достаточно малом ломаная

будет удовлетворять неравенствам Из равенств следует, что решение задачи (2.4). Пусть решение задачи (2.4) при Легко проверить, что Так, если в случае задачи без граничных условий предположить, что то для ломаной

при малом будем иметь

Из равенств следует, что x - решение задачи (2.3).

Установим, что функция является монотонной и выпуклой. Пусть Для любого найдется ломаная такая, что

Для ломаной

будем иметь

и при будет

т.е. Монотонность установлена. Далее, для любого найдем ломаные такие, что

тогда для

будет

т.е.

что свидетельствует о выпуклости функции Предложение доказано.

Задача (2.4) может быть обобщена следующим образом. Пусть заданы замкнутые выпуклые множества а при шары.

Требуется найти ломаную такую, что

В дальнейшем будем предполагать, что решение задачи (2.5) существует. Если рефлексивное, в частности гильбертово, пространство и одно из множеств ограничено, то решение будет существовать.