3. Наилучшее приближение в пространстве со скалярным произведением

3.1. Определения

Пусть X — линейное пространство над полем вещественных чисел и каждой паре элементов сопоставляется вещественное число, обозначаемое как так, что выполняются следующие условия:

Число называется скалярным произведением элементов В пространстве X вводится норма следующим образом:

Пространство со скалярным произведением далее обозначается через

Для любых справедливо неравенство Коши

в котором при знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда при некотором Оно следует из того, что дискриминант трехчлена от

неположителен. Неотрицательность трехчлена следует из определения нормы. Свойство линейности скалярного произведения и неравенство Коши позволяют установить свойство непрерывности скалярного произведения (х,у) по обеим переменным х, у.