3.2. Характеризация и устойчивость элемента наилучшего приближения

Пространство со скалярным произведением является равномерно выпуклым. В самом деле, используя свойства скалярного произведения, для получаем

Поэтому модуль выпуклости имеет вид

Следовательно, любое выпуклое множество является множеством единственности.

Теорема 1. Пусть К — выпуклое множество из и Элемент является элементом наилучшего приближения для т.е. тогда и только тогда, когда для любого

Необходимость. Допустим, что элемент наилучшего приближения, но существует такой, что

Тогда при элемент принадлежит множеству К, поскольку оно выпукло, и ввиду соотношения

при достаточно малом А выполняется неравенство

которое противоречит экстремальности элемента

Достаточность. Если имеет место (3.1), то для любого

и равенство выполняется лишь в случае, когда значит, элемент наилучшего приближения и, притом, единственный.

Следствие 1. Если К — подпространство из то элемент является элементом наилучшего приближения для тогда и только тогда, когда для любого

Для доказательства надо применить сформулированный критерий для

Элементы называются ортогональными, если Предыдущее утверждение означает, что элемент ортогонален подпространству

В следующей теореме устанавливается свойство липшидевости метрической проекции в пространстве со скалярным произведением.

Теорема 2. Метрическая проекция на выпуклое множество существования удовлетворяет условию Липшица

Доказательство. В силу определения нормы и свойств скалярного произведения для получаем

В соответствии с (3.1) первые два слагаемые отрицательны, и по неравенству Коши

Теорема доказана.