Глава I. АППРОКСИМАТИВНЫЕ МЕТОДЫ СЖАТИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ

1. Предмет теории аппроксимации

Начало теории приближения функций положено П. Л. Чебышевым в 1853 г. в работе "Теория механизмов, известных под названием параллелограммов" в связи с сугубо прикладной задачей. Проблематика этой теории, в особенности в последние десятилетия, тесно связана с задачами из различных областей науки и техники.

1.1. Классы задач

Приведем основные классы задач, при решении которых могут эффективно применяться методы теории аппроксимации.

I. Сжатие информации, приближенное представление сложных функциональных зависимостей посредством элементарных функций. Так, геофизические или атмосферные характеристики больших регионов земного шара обычно задаются в виде громоздких таблиц их значений в узлах сеток, содержащих сотни тысяч точек. Для удобного применения и экономного их хранения целесообразно представить эти характеристики посредством формул, содержащих сравнительно малое число параметров. Степень сжатия выражается коэффициентом где число бит, необходимых для хранения исходной функции и аппроксимирующей функции соответственно.

II. Восстановление функциональной зависимости. Особенность задач данного класса состоит в том, что исследуемая функция замерена на небольшом количестве точек, и требуется найти способ ее вычисления во всей области ее определения. Это тот случай, когда измерение функции в одной точке является

дорогостоящим. Если, скажем, глубина залегания нефтяного слоя или рудного тела в точке с географическими координатами х, у, то для точного измерения приходится бурить скважину в точке

III. Сглаживание экспериментальных данных, фильтрация помех. Пусть, к примеру, в процессе эксперимента производятся измерения некоторой гладкой функции (характеристики) через малые промежутки времени, при этом ошибка измерения сравнима по величине с длиной промежутка времени между соседними измерениями 1. График измеренной функции, полученный последовательным соединением точек прямолинейными отрезками представляет собой пилообразную ломаную (рис. 1). Для восстановления гладкой функции по замеренным с ошибками ее значениям нужно найти способ сглаживания экспериментальных данных.

Рис. 1

Качество решения задач характеризуют:

а) коэффициент сжатия с,

б) сложность вычисления приближающей (восстанавливающей) функции, измеряемая числом выполняемых элементарных операций,

в) точность приближения (восстановления) функции посредством