10. Полиномиальные сплайны

10.1. Введение

Английское слово "spline" означает "упругая рейка". Такую рейку можно использовать как лекало для вычерчивания кривых. Если рейку закрепить в нескольких точках, то осевая линия будет представлять собой гладкую кривую, которая составлена из отдельных частей, сопрягающихся в точках крепления рейки. Сплайном или сплайн-функцией обычно (см. напр., [16], [64]) называют кусочно-полиномиальную функцию, т.е. такую функцию область определения которой разбита на конечное число частичных областей и на каждой области функция является многочленом где степень многочлена, а индекс номер области. При этом предполагается, что внутренности частичных областей попарно не пересекаются и для различных многочлены вообще говоря, различны. Области целесообразно выбирать наиболее простыми: в случае функции одной переменной отрезки, прямоугольники или треугольники, трех переменных — параллелепипеды или тетраэдры и т.д. Сплайны оказались удобным аппаратом для приближенного представления функциональных зависимостей сложной структуры, возникающих при решении разнообразных научно-технических задач. Так, траекторию движения резца станка с программным управлением удобно задавать в виде сплайнов 2-й или 3-й степеней. Сплайны применяются при расчете на прочность строительных конструкций, для аналитического описания поверхностей деталей машин: крыла, фюзеляжа самолета, корпуса водного судна, профиля сопла реактивного двигателя, и т.д.

Теория сплайнов в настоящее время — богатая, хорошо разработанная теория. В этом параграфе приводятся первоначальные понятия и некоторые факты. Их доказательства можно найти по приведенным в тексте ссылкам.

Сплайны составляют основу метода конечных элементов решения прочностных задач (см., напр., [68]).