2.1. Существование элемента наилучшего приближения

Определение. Множество называется ограниченно компактным, если для любых множество

является компактным.

Теорема 1. Ограниченно компактное множество является множеством существования.

Доказательство. Пусть произвольный элемент из Очевидно, что задачи

эквивалентны. Вторая из них есть задача минимизации непрерывного функционала на компактном множество По известной теореме (Вейерштрасса) существует элемент для которого Доказательство завершено.

Следствие 1. Конечномерное подпространство из X является множеством существования.

Определение. Множество называется слабо компактным, если из любой последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу

Теорема 2. Слабо компактное множество является множеством существования.

Доказательство. Пусть К — слабо компактное множество из минимизирующая последовательность, т.е. такая, что

Существует подпоследовательность слабо сходящаяся к некоторому элементу Покажем, что Допустим, что при некотором По теореме об отделимости (см., напр., п. 2.4, [23]) найдутся функционал из сопряженного пространства такие, что

Ввиду соотношения (2.3) найдется номер такой, что для значит, по что противоречит слабой сходимости подпоследовательности Теорема доказана.

Если конечномерное подпространство представляет собой линейную оболочку набора линейно независимых элементов, т.е. то каждый элемент из К задается совокупностью из коэффициентов Далеко не каждое множество из X, элементы которого определяются конечной совокупностью числовых параметров, является множеством существования.

Пример 1. Пусть X — пространство вещественных функций определенных на -точечном множестве с чебышевской нормой и

Для функции не существует элемента наилучшего приближения из К. В самом деле, последовательность функций сходится к значит, но