1.2. Классы приближающих функций

Сложность вычисления приближающей функции определяется ее конструкцией, которая, в свою очередь, диктуется особенностями аппроксимируемой функции. Классический способ приближения функций, заданных на отрезке вещественной оси, — это приближение многочленами

степени не более заданного номера Класс таких многочленов будем обозначать через Многочлены двух переменных х, у записываются чаще всего одним из способов:

Для приближения -периодических функций (т.е. таких, что используется класс тригонометрических полиномов

Приближающая функция может быть обобщенным полиномом

по специально построенной системе функций Во многих задачах эффективно используются ортогональные системы, составленные из так называемых всплесков (гл. I, § 12)

Функция выбирается так, что она быстро убывает бесконечности, в частности, имеет конечный носитель.

В случае, когда приближаемая функция имеет "пики" — большие по абсолютной величине значения на некоторых участках в сравнении со значениями на других участках, целесообразно использовать класс рациональных дробей

"Пика" рациональной дроби на заданном участке можно добиться выбором малого на этом участке знаменателя

Имеется широкий круг задач, например, задачи теплопроводности, структурного анализа, радиоактивного распада и др., где приближенные значения функции естественно выражать в виде экспоненциальной суммы

подбирая при этом часто числа а имеют определенный физический смысл (точки спектра).

В последние десятилетия интенсивно исследуется и используется в прикладных задачах аппарат сплайн-фукнций. Сплайны — это функции с определенными свойствами гладкости, которые на разных частях области определения задаются различными способами. Полиномиальный сплайн одной переменной степени определяется по сетке как функция (имеющая непрерывные производные вплоть до порядка являющаяся на каждом отрезке многочленом

Набор коэффициентов вообще говоря, меняется от отрезка к отрезку. Число к называется дефектом, а точки узлами

сплайна. В приложениях часто встречаются функции, область определения которых естественно разбивается на части в зависимости от характера поведения функции. Так, ось упругой балки с конечным числом точек опоры при малых изгибах удобно выразить с помощью сплайна с узлами Другой пример. Перо чертежного автомата (или резец станка с программным управлением) может двигаться по некоторым "элементарным" кривым: отрезкам, дугам окружностей или парабол. Поэтому профиль вычерчиваемой или обрабатываемой детали приходится составлять из конечного числа "элементарных" кривых. Траекторию летательного аппарата, рули управления которого имеют конечное число положений, также можно представлять в виде сплайна, узлы которого — точки, соответствующие моментам переключения рулей. Сплайны естественно возникают во многих экстремальных задачах, в частности, в задачах сглаживания экспериментальных данных.

Новый аппарат сжатия информации представляют фрактальные методы аппроксимации функций суть которых состоит в том, что для функции принадлежащей полному метрическому пространству функций X, подбирают сжимающее отображение такое, что неподвижная точка близка к (аппроксимирует что важно, для хранения информации об отображении требуется меньший нежели для хранения объем памяти ЭВМ.