10.2. Сплайны одного переменного

Пусть на отрезке задана сетка

натуральные числа. Функцию называют сплайном степени дефекта к с узлами если

1) на каждом отрезке функция совпадает с некоторым многочленом степени

2) , т.е. имеет непрерывные производные

будем Записывать одним из способов -Множество сплайнов обозначается через Это линейное пространство. Чтобы найти его размерность, надо из общего числа коэффициентов многочленов вычесть число условий налагаемых на производные. Таким образом,

Примеры.

1. Многочлен есть сплан степени дефекта 0.

2. Непрерывная кусочно-линейная функция есть сплайн степени 1 дефекта 1.

3. Функция

является сплайном степени дефекта 1 с единственным узлом Любой сплайн степени дефекта 1 представим в виде

В самом деле, на отрезке сплайн является многочленом Пусть представлен двумя способами:

Поскольку вторая сумма в (10.2) зануляется на то совпадает с (10.2) на при На отрезке сплайн задается многочленом

По определению сплайна дефекта 1 имеем

откуда

т. е.

на то представление (10.2) для справедливо на при Повторяя эти рассуждения последовательно для отрезков убеждаемся в справедливости представления (10.2) для на всем отрезке

Любой сплайн степени дефекта к представим формулой (см., напр., [64], [16])

которая еще раз подтверждает, что множество сплайнов представляет собой линейное пространство размерности

Более удобный способ задания сплайнов основан на использовании так называемых -сплайнов — специальным образом построенных функций из которые образуют линейно-независимую систему и через которые любой сплайн однозначно выражается в виде линейной комбинации

Определим -сплайны дефекта При -сплайны определяются по двум узлам (см. рис. 8а)

при -сплайн определяется по трем узлам

он непрерывен, зануляется вне интервала линеен на отрезках (см. рис. 86).

Рис. 8

Для произвольного -сплайн записывается следующим образом:

Легко видеть, что (см., напр., [16])

- В-сплайны (10.5) строго положительны на интервале и зануляются вне его;

— как линейная комбинация сплайнов -сплайн принадлежит пространству

— набор В-сил айнов

образует линейно-независимую систему функций;

— справедлива рекуррентная формула

выражающая В-сплайн -го порядка с носителем через В-сплайны порядка с носителями Для график В-сплайна изображен на рис. 8в).

Для того чтобы выразить сплайны из через В-сплайны, произвольно введем слева и справа от отрезка дополнительные узлы

Линейное пространство, натянутое на линейно независимую систему из функций на отрезке

образует совокупность сплайнов степени дефекта 1 на сетке узлов т.е. пространство Итак, любой сплайн однозначно представим в виде (10.4)

Заметим, что, изменив набор дополнительных узлов мы изменим систему базисных функций (10.6), но линейное пространство, натянутое на эту систему, останется прежним.