5. Восстановление информации по реографическим данным

5.1. Введение

В различных научно-технических областях (машиностроение, геофизика, астрофизика, медицина) встречаются задачи исследования (диагностики) объектов, непосредственное изучение которых по разным причинам затруднено, однако есть возможность использования косвенной информации, содержащейся в сигналах, излучаемых объектом и записанных в виде звуковых регистограмм, электрореограмм и т.д. В благоприятных случаях бывает известно, как состояние объекта отражается на характере сигнала, и, следовательно, по виду сигнала можно судить об объекте. Но зачастую механизм влияния качественного состояния объекта на характер излучаемого сигнала исследователю не известен. В таких случаях приходится использовать опыт работы с изучаемыми объектами или, если возможно, провести серию экспериментов для того, чтобы "набрать статистику" — для большого числа объектов выяснить взаимосвязь

Задачу восстановления информации по реографическим данным можно сформулировать следующим образом. Пусть множество объектов. Нас интересует значение некоторого качественного признака (скалярного или векторного) для Другими словами, нам важно знать отображение

В результате деятельности объекта В или нашего воздействия на объект возникает сигнал

на некотором отрезке где величина сигнала, подходящий параметр (время, напряжение тока и т.д.), определяемый существом задачи. Предполагается, что сигнал может быть замерен в любой точке или, по крайней мере, в точках густой

сетки позволяющей уловить особенности поведения сигнала. Пусть

Задача состоит в определении значения по снятому сигналу с требуемой точностью т.е. требуется построить отображение

такое, что где через обозначается некоторая норма, например, евклидова норма в Эта задача неразрешима, если сигнал недостаточно информативен. Информативность сигнала можно измерять величиной

— величиной диаметра множества значений для объектов В из прообраза

сигнала (т.е. для всех объектов В, порождающих один и тот же сигнал и можно оценить сверху через

Сигнал является представителем всех объектов В из поэтому вектор должен по возможности представлять множество (см. схему на рис. 10).

Проще всего в качестве взять произвольный элемент из для него, очевидно,

Однако наилучшую оценку позволяет получить элемент являющийся чебышевским центром с множества Чебышевский центр и чебышевский радиус множества определяется следующим образом:

Рис. 10

По теореме Юнга ([100]) для справедливо неравенство поэтому

Таким образом, при диагностике объекта В посредством реограммы (сигнала) для получения наиболее точного результата следует реализовать схему

обеспечивающую оценку (5.5). Поставленная задача будет решена, если

Исходной информацией для ее практического решения является "набранная статистика", т.е. совокупности

объектов значений признака и соответствующих им сигналов Сигналы для различных номеров

могут совпадать. Используя эти данные, зададим отображение множества

где чебышевский центр множества тем самым, на определим суперпозицию

которая В определенном смысле представляет суперпозицию (5.6).

Наша следующая цель — приблизить отображение (5.9) простым отображением определенным на всем В. Зададим подходящий класс легко вычисляемых отображений из в

Исходными данными для поиска отображения являются соотношения (5.8). Сложность данной задачи аппроксимации состоит в том, что областью определения отображений является функциональное множество аффинная размерность которого может быть бесконечной, а методы теории приближения применимы при аппроксимации функций заданных на множестве из некоторого конечномерного пространства при этом для достижения удовлетворительной точности используются значения на сетке число точек которой больше, чем можно говорить лишь о линейной аппроксимации). Следовательно, для использования стандартных методов аппроксимации надо бесконечномерную область определения отображения заменить на конечномерное множество. Проще всего это можно сделать, заменив каждый сигнал на вектор в надежде получить функцию из в

Если сигнал имеет сложную структуру, то вектор отражает его особенности лишь при большом . С другой стороны, для хорошей аппроксимации функции (5.2) необходимо знать ее значения в "точках" (см. (5.8))

при т.е. необходимо иметь "богатую статистику". Часто в практических задачах статистика бывает скудной, в таких случаях указанный способ сведения к функции с конечным числом измерений неприменим и приходится искать другие способы замены множества на конечномерное множество.

В излагаемых ниже двух задачах удается подобрать небольшое количество численных характеристик сигнала, по которым можно с удовлетворительной точностью определить значение Фактически есть набор функционалов над более информативных в сравнении с функционалами вида Так сигнал дискретизируется

И мы получаем конечномерное множество

Каждый вектор из этого множества является представителем множества сигналов для которых а каждый сигнал представляет, в свою очередь, множество объектов а множество наилучшим образом представляет его чебышевский центр Поэтому при диагностике объекта В целесообразно реализовать следующую схему:

(см. пунктирную линию на рис. 11). Поскольку отображения практически заданы в соответствии с (5.7) не на всем В, а только на

суперпозицию (5.14) приходится рассматривать на

Рис. 11

Отображение

определено на конечномерном множестве (5.13), известны его значения на точках следовательно, оно может быть аппроксимировано отображением методами теория приближения функций. В итоге, суперпозиция

аппроксимирует суперпозицию (5.6). На всех трех шагах преобразования (5.16): переход от объекта В к его сигналу, дискретизация сигнала, переход к аппроксимирующему отображению происходит потеря информации.

В заключение перечислим основные этапы решения задач подобного класса.

1) Наработка "статистики" (5.7),

2) изучение соответствия объект сигнал значение признака на основе имеющейся статистики,

3) формулировка эвристических принципов (такого вида: если определенное свойство реограммы проявляется сильнее, то для большинства соответствующих объектов и значение признака больше),

4) реализация замеченных информативных свойств реограмм в виде численных характеристик

5) подбор весовых сомножителей, отражающих степень информативности характеристик

6) поиск аналитической зависимости признака от характеристик с использованием методов теории приближения функций (выбор класса V и аппроксимация),

7) автоматизация обработки реограмм, вычисления характеристик и по ним величины

По этому перечню можно убедиться в том, что успех в решении задачи возможен лишь при сотрудничестве математиков и специалистов, имеющих опыт работы с изучаемыми объектами.