12.3. Примеры всплесков

1. Всплески Хаара.

Исходя из масштабирующей функции с помощью (12.4) получаем функцию Хаара (рис. 13)

Рис. 13

2. Всплески Лемарье-Баттла, Чю-Ванга.

Зафиксируем произвольное и для любого целого определим пространство состоящее из раз непрерывно дифференцируемых функций из которые на любом сегменте

совпадают с некоторым полиномом степени не выше пространство сплайнов степени дефекта 1 на сетке с узлами Последовательность удовлетворяет свойствам 1)-5) кратно-масштабного анализа. Пусть - В-сплайн (см. гл. I, § 10) степени построенный по равномерной целочисленной сетке. Последовательность порождает но не является ортогональной. Однако В-сплайн обладает свойством (12.19). В самом деле,

откуда легко вытекает (12.19). Следовательно, удовлетворяет условию 6) кратномасштабного анализа и в соответствии с общей схемой функция определяемая из равенства

позволяет построить всплесковый базис (рис. 14). Верхние графики соответствуют случаю нижние — Всплески Лемарье-Баттла имеют в качестве носителя всю числовую ось и экспоненциально убывают на бесконечности. Чю (C.Chui) и Ванг (J.-Z.Wang) (см. [91]) построили на основе В-сплайнов всплески с конечным носителем. Однако их всплески таковы, что образует (не-ортогональный) базис Рисса в но подпространства попарно ортогональны. Слева на рис. 15 изображены графики В-сплайнов степени 2,3,4, справа — соответствующие всплески.

3. Всплески Уиттекера-Шеннона-Котельникова.

Возьмем в качестве масштабирующей функцию часто используемую при обработке сигналов (рис. 16). Легко проверить, что (рис. 17). Очевидно функция удовлетворяет условию (12.12) и по лемме является ортонормированной. Пространство определяемое как замыкание линейной оболочки

Рис. 14 (см. скан)

последовательности совпадает с пространством Виннера целых функций экспоненциального типа интегрируемых с квадратом на вещественной оси

где носитель функции Поскольку

то

Рис. 15 (см. скан)

Этот ряд называется кардинальным рядом, он играет важную роль при обработке сигналов. Для построения всплескового базиса надо воспользоваться соотношениями (12.10):

где - периодическая функция, а коэффициенты

Рис. 17 (см. скан)

отыскиваются с помощью (12.21)

В соответствии с общей схемой образ Фурье функции равен

откуда

Здесь преобразование Фурье функций имеет конечный носитель (рис. 17), однако

4. Всплески Мейера-Литтльвуда-Пэли.

Образ Фурье масштабирующей функции Мейера строится по заданной нечетной бесконечно дифференцируемой функции равной при и четной функции

следующим образом (рис. 18)

Рис. 18

Для нее соблюдается соотношение (12.12). Из (12.22) следует

Имеем где - -периодическая функция при совпадающая с и по (12.17) (см. рис. 19)

отсюда (рис. 20)

Рис. 19

Рис. 20

Функции и обладают следующими свойствами:

бесконечно дифференцируемы и удовлетворяют условию регулярности

5. Всплески Добеши с компактным носителем. Функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда последовательность в соотношении (12.9

имеет конечное число ненулевых членов, т.е. когда масштабирующая функция является тригонометрическим полиномом. Прямое утверждение следует из (12.24). Справедливость обратного утверждения можно проверить с помощью равенства [94]

где

В самом деле, если при то где Поскольку то с учетом (12.4)

Основой построения всплесков с компактным носителем является следующая

Теорема 2. Пусть тригонометрический полином такой, что

тогда для функции определяемой равенством

последовательность является ортонормированной.

Пример 3. - всплеск Хаара.

Пример 4. . Условиям теоремы удовлетворяет полином

где полином такой, что

Здесь четный многочлен. Полином можно представить в форме

Функции определяемые с помощью такого масштабирующего полинома, пометим индексом Пример 5.

Из (12.27) следует, что

Рис. 21 (см. скан)

т.е. с ростом степени полинома носитель всплеска увеличивается. Вместе с тем улучшаются (см. рис. 21) их дифференциальные свойства: доказано [95] существование такого, что для всех функции

Для всплесков Добеши нет удобных формул (разумеется, исключая всплеск Хаара). Соотношения (12.25), (12.26) позволяют их строить численно.