2.3. Непрерывность метрической проекции

Метрическая проекция отображение, вообще говоря, многозначное: образом точки х является множество Для рассмотрения вопроса о непрерывности понадобится понятие одностороннего расстояния между множествами

Теорема 4. Пусть К — ограниченно компактное множество и произвольный элемент из X, тогда

Заметим, что по теореме 1 п. 2.1. множества не являются пустыми.

Доказательству теоремы предварим следующую лемму.

Лемма 1. Для любых выполняется неравенство

Доказательство. Для любого найдутся для которых Далее,

и, аналогично,

Ввиду произвольности из этих неравенств следует (2.10).

Доказательство теоремы. Обозначим где Если то Множество компактно. Допустим, что нашлись последовательность (начиная с некоторого номера будет для которых Ввиду компактности Ко существует подпоследовательность сходящаяся к элементу Непрерывность функции дает Учитывая лемму и непрерывность нормы по х и у, получим

откуда что противоречит неравенству Доказательство завершено.

Отображение называется полунепрерывным сверху (снизу) в точке если (соответственно при Отметим, что для метрической проекции (даже на ограниченно компактное множество) свойство полу непрерывности снизу может отсутствовать.

В некоторых случаях можно получить количественные оценки непрерывности (устойчивости) метрической проекции.

Теорема 5. Если метрическая проекция на множество существования К обладает свойством сильной единственности с константой в точке то она удовлетворяет условию Липшица

Доказательство. Для неравенство (2.8) дает

и, применяя (2.10), завершаем доказательство.

Напомним, что через обозначается диаметр множества А.

Предложение 1. Пусть тогда и для любых

Доказательство. Для учитывая лемму, получим

поэтому а поскольку то

Теорема 6. Выпуклое замкнутое множество К в равномерно выпуклом пространстве X является чебышевским множеством, и для любых выполняется неравенство

где

Доказательство. Равномерно выпуклое пространство рефлексивно (см. [76]). В рефлексивном пространстве выпуклое замкнутое множество К ограниченно слабо компактно и, значит, является множеством существования. Поскольку X строго выпукло, то К — чебышевское множество. Теорему можно доказать, оценивая сверху величину Здесь приведено другое доказательство. Не ограничивая общности можно считать, что нулевой элемент пространства (рис. 5). Пусть Обозначим

Тогда ввиду поскольку и в — единственный элемент наилучшего приближения для то интервал не пересекается с поэтому точка не принадлежит шару а поскольку то значит, Отсюда

Рис. 5

Далее,

и, наконец, поскольку будем иметь

откуда вытекает утверждение теоремы.

Следствие 2. Метрическая проекция на подпространство в равномерно выпуклом пространстве является равномерно непрерывной на любом ограниченном множестве.

Пространства не являются строго выпуклыми, тем более, равномерно выпуклыми. В них есть подпространства (см. примеры), метрическая проекция на которые не является равномерно непрерывной на ограниченном множестве (например, на шаре).

Пример 2 (С. Б. Стечкин). Функции линейны на отрезках а в узлах определены следующим образом (см. рис. 6):

Пусть К — двумерное подпространство из состоящее из функций Тогда функция, тождественно равная нулю, функция Итак,

Пример 3. Пусть К — одномерное подпространство из ], состоящее из постоянных функций,

тогда Итак,

Рис. 6 (см. скан)