2.3. Возможные постановки экстремальных задач

Экстремальная задача поиска оператора удовлетворяющего требованиям 1), 2), может быть сформулирована следующим образом:

Оператор, реализующий нижнюю грань (2.3), будем называть наилучшим оператором для элемента Численное решение этой задачи затруднительно по двум причинам:

а) класс операторов

чрезвычайно широк,

б) для каждого неподвижная точка задается не в конечном виде, а определяется в результате бесконечного итерационного процесса.

В частных случаях можно сузить класс (2.4) операторов. Так при естественно поставить задачу

для класса аффинных или полиномиальных операторов заданной степени. В связи с пунктом б) для фиксированного элемента и номера введем величину

и сформулируем простое

Предложение 1. Пусть -аппроксимируемый элемент из и для нижняя грань (2.6) реализуется на операторе Найдется номер такой, что

Доказательство. Существует оператор и номер для которых

Применяя неравенство треугольника, получим

Это предложение показывает, что задача (2.3) может быть сведена к последовательности задач (2.6), где

Постановки (2.3), (2.5), (2.6) нацелены на поиск в классе наилучшего оператора для элемента Неравенство (2.2) позволяет поставить еще одну экстремальную задачу. Пусть полное метрическое пространство и сжимающий оператор. При из (2.2) следует неравенство (Барнсли)

Таким образом, неподвижная точка произвольного сжимающего оператора 5 аппроксимирует элемент с погрешностью, не большей чем Естественное желание уменьшить величину правой части неравенства (2.7) приводит к задачам

Операторы, реализующие нижние грани (2.8), не являются, вообще говоря, наилучшими для (2.3), (2.5), однако гарантируют аппроксимацию элемента с точностью соответственно.

Неравенство (2.7) установлено для полного метрического пространства. В случае, когда свойство полноты пространства не гарантируется, полезным будет следующая

Теорема 2. Пусть метрическое (не обязательно полное) пространство, Если

тогда для любого существует номер такой, что

Доказательство, Применяя неравенства

и неравенство треугольника

получаем соотношение

откуда следует утверждение теоремы.

В соответствии с этой теоремой для сжатия информации, касающейся элемента с возможностью последующего восстановления с точностью нужно:

1) построить сжимающее отображение удовлетворяющее неравенству

2) для фиксированного начального элемента (напр., ) подобрать номер так, что

3) построить выполнив шагов итеративного алгоритма.